Question

证明:ln2/3+ln3/4+ln4/5+...lnn/(n+1)<n(n-1)/4 n是正整数且n大于1

证明:ln2/3+ln3/4+ln4/5+...lnn/(n+1)<n(n-1)/4 n是正整数且n大于1

Answer 1

先证明引理：lnx<x-1(x>1)
引理的证明：令f(x)=lnx-x+1，那么f'(x)=1/x-1=(1-x)/x<0，∴f(x)单调递减，那么f(x)＜f(1)=0，即lnx<x-1(x>1)
回到原题
注意到lnn/(n+1)=2lnn/2(n+1)=lnn²/2(n+1)<(n²-1)/2(n+1)=(n-1)/2
累加即得ln2/3+ln3/4+ln4/5+...lnn/(n+1)<1/2+2/2+3/2+...+(n-1)/2=n(n-1)/4

Answer 2

用数学归纳法
证明：
(1)当n=2时,左边=（ln2）/3
右边=1/2
∵（ln2）/3＜（lne）/3=1/3＜1/2
∴左边＜右边，命题成立
(2)假设n=k（k≥2且k∈Z）时成立
即(ln2)/3+ln(3)/4+.....＋(lnk)/(k+1)＜[k(k-1)]/4
则n=k+1时
左边=(ln2)/3+ln(3)/4+.....＋(lnk)/(k+1)＋(lnk+1)/(k+2)
＜[k(k-1)]/4+ln(k+1)/(k+2)
＜[k(k-1)]/4+1
＜[k(k-1)]/4+k/2
=[(k+1)k]/4
则当n=k+1也成立
由（1）（2）可知
原命题成立

Answer 3

证：ln2/3+ln3/4+ln4/5+...lnn/(n+1)
=(ln2-ln3)+(ln3-ln4)+(ln4-ln5)+...+[lnn-ln(n+1)]
=ln2-ln(n+1)
因n>1 n+1>2
所以ln2-ln(n+1)<0
又因为n(n-1)/4>0
所以原不等式成立
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O