Question

已知函数f(x)是定义在（0，正无穷大）上的，当x>1时，f(x)>0且f(xy)=f(x)+f(y).

问：（1）求f(1)
(2)证明f(x)在定义域上是增函数
（3）如果f(1/3)=-1,解不等式f(x)-f(1/x-2)>=2

Answer 1

(1) y=1时 f(x)=f(x)+f(1) f(1)=0
(2) 设x1>x2 则x1/x2>1
因当x>1时，f(x)>0
所以f(x1/x2)>0
f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
所以f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0
即f(x1)>f(x2)
故 f(x)在定义域上是增函数
(3) 当y=1/x时 f(1)=f(x)+f(1/x)
则f(1/x)=-f(x)
所以f(1/3)=-f(3)=-1 f(3)=1
f(9)=f(3*3)=f(3)+f(3)=2
f(x)-f[1/(x-2)]=f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]≥2=f(9)
因为f(x)是增函数
所以x²-2x-9≥0
因x>0
所以x≥1+√10
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

(1)
令x=y=1
那么f(1)=2f(1)
f(1)=0
(2)
令y>1
xy=x1
x=x2
那么f(xy)=f(x)+f(y)化为f(x1)-f(x2)=f(y)>0
即f(x1)>f(x2)
现在比较x1和x2
因为y>1 x1=xy>x>x2
所以x1>x2
所以函数在定义域上为增函数
(3)令x=1/3 y=3
那么f(1)=f(1/3) +f(3)=0
f(3)=1
再令x=y=3
那么f(9)=2f(3)=2
所以不等式化为f(x)≥f(9)+f(1/(x-2)) =f(9/(x-2)) (我把你x-2看为分母了)
由f(x)的单调性知
x>9/(x-2)
x>0
9/(x-2)>0
即x>1+根号10

不知道你那个.f(1/x-2)中的x-2是不是分母
如果是,就是上面那样
如果不是(即x是分母)
那么改成
由f(x)的单调性知
x>0
1/x -2 >0
x>1/x -2
解出0<x<根号2 -1

Answer 3

（1）令x=y=1，则f(1)=2f(1)，∴f(1)=0
（2）设x1>x2 则x1/x2>1
∵当x>1时，f(x)>0，且x1/x2>1
∴f(x1/x2)>0
又∵f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0，即f(x1)>f(x2)
∴f(x)在定义域上是增函数
（3）令y=1/x，则f(1)=f(x)+f(1/x)
则f(1/x)=-f(x)
则f(1/x-2)=-f（x-2）
则f(x)-f(1/x-2)=f(x)+f(x-2)=f[x(x-2)]=f(x^2-2x)>=2
又f(1/3)=-1，则-f(1/3)=1，则-2f(1/3)=2
则f(x^2-2x)>=-2f(1/3)
f(x^2-2x)+[f(1/3)+f(1/3)]>=0
f(x^2-2x)+f(1/9)>=0
f(x^2/9-2x/9)>=0
又∵当x>1时，f(x)＞0
∴x^2/9-2x/9＞1
解得x≥1+√10，x≤1-√10
∵函数f(x)是定义在（0，正无穷大）上的
∴x≤1-√10舍去
∴x≥1+√10。