对于任意实数x,y,求证:[2x]+[2y]≥[x]+[y]+[x+y]
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证明：记{x}=x-[x], 则0≤{x}<1, 于是[2x]=2[x] + [2{x}], [x+y]= [x] + [y] + [{x}+{y}]，所以
[2x]+[2y] - ([x]+[y]+[x+y])= [2{x}] + [2{y}] - [{x} +{y}]
不妨设{x}≥{y}, 则[2{x}] ≥ [{x}+{y}], 所以[2{x}] + [2{y}] - [{x} +{y}] ≥ 0.
所以[2x]+[2y] - ([x]+[y]+[x+y]) ≥ 0，即[2x]+[2y]≥[x]+[y]+[x+y].
[2x]+[2y] - ([x]+[y]+[x+y])= [2{x}] + [2{y}] - [{x} +{y}]
不妨设{x}≥{y}, 则[2{x}] ≥ [{x}+{y}], 所以[2{x}] + [2{y}] - [{x} +{y}] ≥ 0.
所以[2x]+[2y] - ([x]+[y]+[x+y]) ≥ 0，即[2x]+[2y]≥[x]+[y]+[x+y].
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[2x]+[2y]=[x]+[y] + [x]+[y] ≥[x]+[y]+[x+y]
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证明:[2x]+[2y]=[x]+[y] + [x]+[y]
≥[x]+[y]+[x+y]
≥[x]+[y]+[x+y]
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