Question

设f(x)是定义域在R上的奇函数,在(-∞,0)上有2xf'(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0，则不等式xf(2x)<0的解集为

我的解题过程是
把f(-2)=0带入2xf'(2x)+f(2x)<0中
得到xf'(2x)<0
∵x＜0，∴f'(2x)＞0
又∵f(x)是单调函数
∴f(x)在定义域上单调递增
同理f(2x)在定义域上单调递增且为奇函数
∵f(-2)=0
∴得到f(2x)的函数图象:x∈(-∞,-1)时，f(2x)＜0
x∈(1,+∞)时，f(2x)＞0
x∈[-1,1]时，f(2x)=0
∴xf(2x)无解

各位高手，帮忙指点一下，哪里出了问题，谢谢~
PS:把f(-2)=0带入2xf'(2x)+f(2x)<0中
得到xf'(2x)<0
∵x＜0，∴f'(2x)＞0 修改为

把f(-2)=0带入2xf'(2x)+f(2x)<0中
得到-2f'(-2)<0
∵f(2x为单调函数)
∴f'(2x)＞0

Answer 1

第一步就错了，f（-2）带入2xf'(2x)+f(2x)<0中
时得到的是2*（-1）f'(-2)+f(-2)<0,即-2f'(-2)<0不能得到xf'(2x)<0

追问

那步我没注意弄错了，
那即使是-2f'(-2)<0，接下来也是同理f'(-2)＞0啊

追答

你不能由那一点推出一个区间的单调性，由于是奇函数，并且在X=0的时候有定义，所以f（2x）有三个零点，即在x=-1,0,1时，f（2x）为0.你从这里入手再多考虑考虑吧！

追问

明白了，我把所有奇函数都当成单调的了
谢了~

追答

恩，奇函数只是关于原点对称而已！