Question

如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块绿地△ABD

其中AB长为定值a，BD长可根据需要进行调节（BC足够长）.现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，切把种草的面积S1与种花的面积S2的比值S1/S2成为草花比y
（1）设∠DAB=θ，将y表示成θ的函数
（2）当BE多长时，y有最小值？是多少?

Answer 1

（1）由于题目中“设∠DAB=θ，”，故可利用解三角形的知识解决“草花比y”；
（2）由于式子“ y=12(tanθ+1tanθ)≥1”括号中两式的积是定值，故利用二元不等式求其最小值.
解：（1）因为BD=atanθ，
所△ABD的面积为 12a2tanθ（ θ∈(0，π2)） （2分）
设正方形BEFG的边长为t，则由 FGAB=DGDB，
得 ta=atanθ-tatanθ，（4分）
解得 t=atanθ1+tanθ，则 S2=a2tan2θ(1+tanθ)2（5分）
所以 S1=12a2tanθ-S2，
则 y=s1S2=(1+tanθ)22tanθ-1（8分）
（2）因为tanθ∈（0，+∞），所以
y=12(tanθ+1tanθ)≥1（10分）
当且仅当tanθ=1，时取等号，此时BE= a2．
所以当BE长为 a2时，y有最小值1．（12分）
本题主要考查函数在实际生活中的应用、解三角形以及利用二元不等式求函数最值的方法，解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果，其中关键是建立数学模型．

Answer 2

设AE=x,所以tanθ=(a-x)/x
推出：x=a/(tanθ+1);BE=atanθ/(tanθ+1)
y=S1/S2=1/2 （x*xtanθ+xtanθ*xtan^2θ）/[（xtanθ）^2]
化简：y=1/2 * (tanθ+1/tanθ)
可以知道当tanθ=1时 y最小 =1此时BE=a/2