Question

几道高一数学题。要详细过程。只有最后答案的不采纳。

1.已知a为实数，求函数f（x）=a（1-x^2）^(-2)+1+x^2 的最大值g（a）

2.过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程。

3.经过点P（2，-3）作圆x^2+y^2=20的弦AB，使P平分AB，求：（1）弦AB所在直线的方程；（2）弦AB的长。

4.已知tanx=3，求下列各式的方程。（1）2sinxcosx (2)(1-2sinxcosx)/(cos^2x-sin^2x)

5.已知向量a=（2^-2,-2）,向量b=[sin(π/4+2x)，cos2x]（x∈R）.设函数f(x)=向量a*向量b。（1）求f（-π/4）的值 （求f()x）的最大值及对应的x的值。（π为pai）

6.已知函数f（x）=cos^2+sinx+a-1（1）若f（x）=0有实数解，求a的取值范围；（2）若1≤f（x）≤17/4对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。

7.已知向量a=（cos3x/2,sin3x/2）,b=(cosx/2,-sinx/2),且x∈[0,π/2],f（x）=a*b-2λ丨a+b丨（λ为常数），求：（1)a*b及丨a+b丨；（2）若f（x）的最小值是-3/2，求实数λ的值

Answer 1

1.已知a为实数，求函数f（x）=a/(1-x²)²+1+x² 的最大值
解：很明显，f(x)是偶函数。定义域：x≠±1；
f(0)=a+1；当a>0时，x→±1limf(x)=+∞；当a<0时，x→±1limf(x)=-∞；
不论a>0，还是a<0，都有x→±∞f(x)=+∞.
因此当a>0时该函数有最小值，没有最大值；当a<0时，该函数既无最大值，也无最小值，但有
极值。
令f′(x)=4ax(1-x²)/(1-x²)⁴+2x=4ax/(1-x²)³+2x=0，4ax+2x(1-x²)³=2x[2a+(1-x²)³]=0,于是得驻点：x₁=0；由2a+(1-x²)³=0，1-x²=(-a)^(1/3)，x²=1+(a)^(1/3)，得驻点x₂=√[1+(a)^(1/3)]；
x₃=-√[1+(a)^(1/3)].
当a>0时x₁=0是极小点；当a<0时，x₁=0是极大点；极小值或极大值都是f(0)=a+1.
对其它两个极值点，我们只讨论a>0的情况（因为前面已分析，a<0时它们不是极值点，是拐点.)
当a<0时，x₂和x₃都是极小点。
minf(x)=f(x₂)=f(x₃)=a^(-1/3)+a^(1/3)+2.
2.过点P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程。
解：设过P(1，4)的直线方程为y=k(x-1)+4=kx-k+4；设该直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截
距为b。令y=0，得a=(k-4)/k>0；令x=0，得b=4-k>0；其中k<0，故-k>0，
a+b=(k-4)/k+4-k=1-(4/k)+4-k=5+[-(4/k)+(-k)]≧5+2√[(-4/k)(-k)]=5+2√4=5+4=9
当且仅仅当-4/k=-k，即k²=4，k=-2时等号成立。即当k=-2时a+b获得最小值9。
此时过P的直线方程为y=-2x+6，a=3，b=6.
3.经过点P（2，-3）作圆x²+y²=20的弦AB，使P平分AB，求：（1）弦AB所在直线的方程；
(2).弦AB的长。
解：圆x²+y²=20，圆心(0，0)，半径R=√20=2√5。
连接OP，则OP⊥AB，KOP=-3/2，故KAB=2/3，那么弦AB所在直线的方程为：
y=(2/3)(x-2)-3=(2/3)x-13/3，即2x-3y-13=0.......(1)
圆心(0，0)到弦AB的距离d=︱-13︱/√(13)=13/√13=√13，那么
︱AB︱=2√(R²-d²)=2√(20-13)=2√7.
4.已知tanx=3，求下列各式的值。（1）2sinxcosx (2)(1-2sinxcosx)/(cos^2x-sin^2x)
解：(1) 2sinxcosx=2sinxcosx/(sin²x+cos²x)=2/(tanx+cotx)=2/(3+1/3)=3/5
(2)tanx=3，故tan2x=2tanx/(1-tan²x)=6/(1-9)=-6/8=-3/4；sec2x=±√(1+tan²2x)=±(5/4)
(1-2sinxcosx)/(cos²x-sin²x)=(1-sin2x)/cos2x=sec2x-tan2x=±(5/4)+3/4)=2或-1/2
5.已知向量a=（1/√2，-2）,向量b=[sin(π/4+2x)，cos2x]（x∈R）.设函数f(x)=向量a•向量b。（1）求f（-π/4）的值；(2)求f(x)的最大值及对应的x的值(原题可能有错，已把2^(-2)改成1/√2)
解：f(x)=a•b=(1/√2)sin(π/4+2x)-2cos2x=(1/√2)(√2/2)(cos2x+sin2x)-2cos2x
=(1/2)sin2x-(3/2)cos2x=(1/2)[sin2x-3cos2x]=(1/2)[sin2x-tanθcos2x]
=(1/2cosθ)[sin2xcosθ-cos2xsinθ]=(1/2cosθ)sin(2x-θ)=(1/2√10)sin(2x-θ)
其中tanθ=3，sinθ=3/√10，cosθ=1/√10.
(1)f(-π/4)=(1/2√10)sin(-π//2-θ)=-(1/2√10)sin(π//2+θ)=(1/2√10)cosθ=(1/2√10)(1/√10)=1/20
(2)maxf(x)=f(0)=1/2√10=(√10)/20.
(如果题目改错了，不要紧，解法是相同的。原题写的2^-2也实在让人费解）
6.已知函数f（x）=cos²x+sinx+a-1（1）若f（x）=0有实数解，求a的取值范围；
（2）若1≤f（x）≤17/4对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
解：cos²x+sinx+a-1=1-sin²x+sinx+a-1=-sin²x+sinx+a=0
即有sin²x-sinx-a=0，故sinx=[1±√(1+4a)]/2，如果有实数解，则有：
1+4a≧0，即a≧-1/4...........(1)
︱[1±√(1+4a)]/2︱≦1，即-1≦[1±√(1+4a)]/2≦1，-2≦1±√(1+4a)≦2，-3≦±√(1+4a)≦1
由√(1+4a)≦1，得1+4a≦1，4a≦0， a≦0.........(2)
由-3≦-√(1+4a)，得3≧√(1+4a)，1+4a≦9，4a≦8，a≦2.........(3)
(1)∩(2)∩(3)={a︱-1/4≦a≦0}
7.已知向量a=（cos(3x/2)，sin(3x/2))，b=(cos(x/2)，-sin(x/2)),且x∈[0,π/2]，
f（x）=a•b-2λ丨a+b丨（λ为常数），求：（1)a•b及丨a+b丨；（2）若f（x）的最小值是-3/2，求实数λ的值
解：(1)a•b=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)=cos(3x/2+x/2)=cos2x
a+b=((cos(3x/2)+cos(x/2)，sin(3x/2)-sin(x/2))=(2cosxcos(x/2)，2cosxsin(x/2))
︱a+b︱=√[4cos²xcos²(x/2)+4cos²xsin²(x/2)]=√(4cos²x)=2︱cosx︱=2cosx，(x∈[0,π/2])
(2)f(x)=a•b-2λ丨a+b丨=cos2x-4λcosx=2cos²x-1-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1=2(cos²x-2λcosx)-1
=2[(cosx-λ)²-λ²]-1=2(cosx-λ)²-2λ²-1≧-2λ²-1=-3/2，2λ²=3/2-1=1/2，λ²=1/4，λ=1/2(λ=-1/2舍去)
即当λ=1/2，cosx=1/2，x=π/3时，f(x)获得最小值-3/2.

追问

我才高一馁。。。第一题什么驻点拐点我们还没教耶。。。

追答

如果没学过，让你们做这种题，那是在折磨你们，而且题目本身还是错的！建议你跳过此题！

Answer 2

不会