Question

已知O是正三角形ABC内部一点，向量OA+2向量OB+3向量OC=0，则三角形ABC与三角形OAC的面积之比是？

∵OA＋2OB＋3OC＝0
∴OA＋OB1＋OC1＝0
∴O为△AB1C1的重心
然后呢？！为什么S△OAB1＝S△OAC1

Answer 1

令向量OA+2向量OB+3向量OC=0为向量OA+向量OD+向量OE=0,则O为△ADE的重心,
重心与△ADE各顶点连线把△ADE的面积三等分，设每一部分为6平方单位，则由面积分割法得到三角形ABC面积是6，三角形OAC的面积是2，所以三角形ABC与三角形OAC的面积之比是3:1.

Answer 2

过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，因为AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，对角线OD=OA+AD=OA+OE=OA+2OB=-3OC，所以三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，因为AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，所以三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，因为AF：FB=2：1，所以三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X，故两三角形面积之比为3：1

Answer 3

以向量OB1，向量OC1为边向A反方向作平行四边形OB1DC1，则向量AO=向量OD
过B1，C1分别向AD作垂线，垂足为B2，C2，依平行四边形的性质可知B1B2=C1C2
而S△OAB1＝1/2*AO*B1B2
S△OAC1＝1/2*AO*C1C2
所以两个三角形面积相等