Question

已知函数 f(x)=sin2x-2sin^2x

1.求函数f(x)的最小正周期。
2.求函数f(x)的最大值及f(X)取最大值时的x的集合。

Answer 1

常规解法：Sin2X-2Sin^2X
=Sin2X+COS2X-1
=根号2Sin（2X+45度）-1
所以T=2Pi/2=Pi
2X+45度=90度+2KPi
X=22.5度+KPi

特殊解法：（该方法适用于填空选择题）
Y=Asin（BX+C）中B决定了周期。题目中有SinX平分，降次则会变成Sin2X，而T=2Pi/B=Pi

若式中出现Sin2X平方，则降次后为Sin4X，则周期为O.5Pi。这种方法能快速看岀答案

Answer 2

f(x)=sin2x-2sin^2x= sin2x+ cos2x-1=√2sin(2x+π/4)-1.
(1)T=2π/2=π.
(2).当2x+π/4=2kπ+π/2, k∈Z，即x= kπ+π/8, k∈Z时, 函数f(x)的最大值为√2-1。

追问

为什么最大值为√2-1，求详解。

追答

f(x)=√2sin(2x+π/4)-1.
sin(2x+π/4）∈[-1,1]，所以取1时，f(x)最大，√2-1

Answer 3

原式=sin2x-(1-cos2x)=sin2x+cos2x-1=√2sin(2x+π/4)-1
1.最小正周期T=2π/ω=π
2.令sin(2x-π/4)可得最大值√2-1
此时2x+π/4=2kπ+π/2
解得x∈kπ+π/8(k∈Z)

追问

为什么最大值为√2-1，求详解。

追答

因为sin(2x+π/4)∈[-1,1]，最大是取1.