Question

设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)，设F(x)=(1-x)*f(x)，证明：存在§属于（0，1）使得F''(§)=0.

Answer 1

F ‘（x）=(1-x)*f ’(x)-f（x）；
F ‘（0）=f ‘（0）-f（0），F ‘（1）=-f（1）；
我们构造G（x）=F(x)+x f （1）=(1-x)*f(x)+x f （1）
那么有：G ’‘（x）=F ’‘（x）；G ’（x）=F ‘（x）+f （1）；
又因为G（0）=F（0）=f（0）=f（1）=G（1）
所以：存在m属于（0，1），满足G ’（m）=0
所以存在m，F ‘（m）+f （1）=0；
F ‘（m）=-f （1）；
又因为F ‘（1）=-f（1）
所以存在存在§属于（m，1）使得F''(§)=0.也就是原题中的结论也成立