Question

问一道初中数学题

如上图..

Answer 1

EF始终最长

 如图，将△BFC绕C点顺时针旋转90°，

即BC旋转到AC, FC旋转到DC，FB旋转到DA

  有 FB=DA，CD=CF  ∠ACD=∠BCF    ∠DAC=∠B=45°

 所以 ∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠BCF+∠ACE=∠ACB －∠ECF= 45°

 所以  在△DCE和ECF中，CE=CE  ∠DCE=∠ECF  CD=CF

  所以他们全等  有EF=DE

在△DAE中，∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°

  DE为斜边，大于两条直角边DA 和 AE   而DA=FB

所以三条线段中 EF最长

Answer 2

(1)当E点在A点时，EF=FB 因AB=BC ∠C=90°故∠A=∠B=45°AF（EF）=CF=FB
(2)当F点在B点时，EF=AE 因AB=BC ∠C=90°故∠A=∠B=45°AE=CE=EB（EF）
(3)其他情况下EF始终是最长的。
将三角形FBC绕点C顺时针旋转90度，得三角形CAF′
易知：AF′=FB，F′C=FC，∠EAF′=90°，∠ECF′=45°
且三角形F′CE ≌三角形FCE EF′=EF
在RT三角形EAF′ 中，斜边EF′大于直角边AE和AF′（FB）。

Answer 3

将△FCB向左旋转，使得边BC与AC重合，点F所在的新点为F'，连接F'E，因为△ECF'与△ECF能重合（EC=EC，FC=F'C,∠ECF=∠ECF'=∠ECA+∠ACF'=45°），所以EF=EF'。又因为∠EAF'=∠EAC+∠CAF'=90°，所以，EF'=EF是△EAF'中的斜边，因此，EF'>AE,EF'>AF，又由前面的结论EF=EF'，BF=AF'，所以EF>AE,EF>BF
你可以自己画图试试，就会发现的

Answer 4

结论：EF是最长的。证明如下：
将三角形FBC绕点C顺时针旋转90度，得三角形CAF′
易知：F′A=BF，F′C=FC，∠EAF′=90°，∠ECF′=45°
且三角形F′CE ≌三角形FCE
F′E=EF
在RT三角形EAF′ 中，AE^2+F′A^2=F′E^2
即 AE^2+BF^2=EF^2
AE>0,BE>0, EF>0 ,所以EF最大

Answer 5

正如AC=BC,∠C=90°
此三角形是等腰直角三角形
而∠ECF=45°
∴∠ACE+∠FCB=45°
而点E、点F又是动点
∴当点E与点A重合时，那么线段EF=FB
当点F与点B重合时，那么线段EF=AE
∴AB、EF、FB三条线段中不是始终有一条是最长的，会出现有线条线段相等的情况。