Question

已知正三角棱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合。

（1）当CF=1时，求证EF⊥A1C
（2）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值
设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值

Answer 1

(1) 在A1C1上取A1G=1,连接GF,则GF平行于A1C,所以
即证EF⊥GF
从G做GH垂直于AC交AC于H,连接HE,GE,EF
GF=4√2*3/4=3√2,EF=√1^2+2^2=√5
从E向AC作垂线交AC于K,则HK=2,EK=√2^2-1^2=√3
所以 HE=√3+2^2=√7
从而GE=√GH^2+HE^2=√4^2+7=√23
所以 GF^2+EF^2=18+5=23=GE^2
即角GFE=90度,从而
EF⊥GF.
(2)过K作CC1的平行线交AF于J,则
角JKE=θ
AE=2√3,EK固定,所以KJ越大,EJ越大,所成角越小,tanθ越小,
所以最小在F与C1重合时取.
此时KJ=3,AJ=3√2
EF^2=AF^2+AE^2-2AF*AE*cosFAE (F就是C1)
16+4=32+12-2*4√2*2√3cosFAE
cosFAE=√6/4
从E向AF做垂线交AF于O,则
AO==√6/4*2√3==3√2/2=KO
所以O为KJ中点,KO垂直AO,角KOE=θ

EK^2=KO^2+EO^2-2KO*EO*cosθ
3=9/2+12-9/2-2√(15/2)*√(9/2)*cosθ
cosθ=√15/5
tanθ=√10/√15=√6/3.