Question

计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz 其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.

Answer 1

先作里面dxdy的二重积分

jacobian=|(dx/dt)(dy/dr)-(dx/dr)(dy/dt)|=|rcos²t+rsin²t|=r

=∫∫(x²+y²) dxdy
=∫(0~2π) ∫(0~根号(2z)) r² (jacobian)drdt
=∫(0~2π) ∫(0~根号(2z)) r³ drdt
=∫(0~2π) z²dt
=2πz²

z的范围是0~2
∫(0~2)2πz² dz
=2πz³/3](0~2)
=16π/3

Answer 2

选用柱坐标系：0≤ θ≤ 2Pi , 0≤ r ≤ 2, r^2 /2 ≤ z ≤ 2
原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr
= 2 Pi * (r^4 /2 - r^6/12) | r=2
= 16 Pi /3

追问

0≤ r ≤ 2, r^2 /2 ≤ z ≤ 2
这个范围咋确定的
还有什么情况用柱坐标系法
原式 = ∫ dθ ∫ dr ∫ r^3 dz = ∫ dθ ∫ r^3 ( 2- r^2 /2 ) dr
不明白

追答

上下型区域，在XOY平面的投影区域为圆域。选用柱坐标系。
本题：
上表面 z=2; 下表面 z = r^2 /2

追问

下表面是 z = r^2 /2 怎么来的
x^2+y^2化为r^3什么意思

追答

2z=x^2+y^2 , x=r cos θ, y=r sin θ => z= (x^2+y^2)/2 = r^2 /2
x^2+y^2 = r^2 ,别忘了，直角坐标dV =dxdydz 化为柱坐标 dV= r * dzdrdθ，
故 被积函数要乘以 r。