Question

一道高一的关于数列的题目！我需要详细的求解过程！！！

三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是

Answer 1

设三个互不相等的实数为a-d，a，a+d，（d ≠0）
交换这三个数的位置后:
若a是等比中项，
则a^2=(a-d)(a+d)=a^2-d^2
d=0,不符合;

若a-d是等比中项
则(a-d)^2=a(a+d)
a^2-2ad+d^2=a^2+ad
d^2=3ad
d不等于0
d=3a，若三个数为a,-2a,4a,公比为-2，或三个数为4a,-2a,a,公比为-1/2.

若a+d是等比中项,则同理得到公比为-2，或公比为-1/2.

所以此等比数列的公比是-2或-1/2

Answer 2

设这三个实数为a-d,a,a+d
假设变换位置为a-d,a+d，a
(a+d)^2=a(a-d) d不为0
d=-3a
三个实数为 4a,a,-2a
变换后可能为4a,-2a，a也可能为a,-2a,4a
公比为-1/2 或-2

Answer 3

-0.5，-2
设三个数分别为a，a+d，a+2d
1、若成等比数列时，a+d在中间，则
a（a+2d）=（a+d）²
所以d=0 与题干不符，舍去
2、若成等比数列时，a+2d在中间，则
a（a+d）=（a+2d）²
d=-0.75a
所以三项为a，-0.5a，0.25a 公比为-0.5
或0.25a ，-0.5a，a 公比为-2
3、若成等比数列时，a在中间，则
（a+d）（a+2d）=a²
∴d=-1.5a
所以三项为-0.5a，a，-2a 公比为-2
或-2a，a，-0.5a 公比为-0.5

Answer 4

解:
可设公比为r,且三个数为a/r, a, ar,(其中,a≠0)
由题设可知,r≠±1.以下分类讨论.
[[1]]
当a/r, ar, a成等差数列时,2ar=a+(a/r)
解得r=-1/2,
[[2]]
当a, a/r, ra成等差数列时,2a/r=a+ra
解得r=-2,
[[3]]
当a, ra a/r成等差数列时,2ra=a+(a/r)
解得r=-1/2.
[4]
当ra, a a/r成等差数列时,
2a=ra+(a/r)
解得r=1(舍去)
[[5]]
当ra, a/r, a成等差数列时,
2a/r=ra+a.
解得r=-2,
综上可知,公比r=-1/2, 或r=-2.