Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a.b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a).判断f(x)的奇偶性

Answer 1

因为f(x)对任意的实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a):
故令a=b=0得,f(0)=0;
令a=b=1,得f(1)= f(1)+ f(1)，f(1)=0;
令a=b=-1得f(1)= -f(-1)- f(-1)，;
f(-x)=f[x*(-1)]=xf(-1)-f(x);
因为f(-1)=0所以：f(-x) =-f(x)；
即f(x)是定义在R上的奇函数。