Question

高中数学，对数函数

已知过原点o的一条直线与函数y=f(㏒8x）的图像交与A,B两点，分别过A,B作y轴平行线与函数y=㏒2x的图像交与C,D
证明点D,C,与原点O在同一直线上
BC平行x轴时，求A点坐标

Answer 1

按题目所给的条件结合函数图像，首先设直线OAB方程为y=KX，A点坐标为(a,Ka)，B点坐标为（b,Kb），因为直线OAB与函数y=㏒8X交于A,B两点，则可将A、B两点的坐标带入y=㏒8X中，得Ka=㏒8a，Kb=㏒8b，得A点坐标为（a,㏒8a），B点坐标为（b,㏒8b），又根据图像可知C、D两点的横坐标与A、B点的横坐标相同，于是将C、D两点的横坐标带入函数y=㏒2X中求得C、D两点的纵坐标，分别为㏒2a与㏒2b，得C点坐标为（a,㏒2a），B点坐标为（b,㏒2b）。比较A、B与C、D点坐标可以发现，3㏒8a=㏒2a(此处自己利用对数函数变形化简可得)，同理3㏒8b=㏒2b，因此C点坐标变为（a,3㏒8a），D点坐标为（b,3㏒8b）。又根据Ka=㏒8a，Kb=㏒8b可得，C点坐标变为（a,3Ka），D点坐标为（b,3Kb）。根据已知的C、D两点坐标可求出直线CD的方程经化简后可消去a、b，得y=3KX，此时可得出一结论，直线CD为一条过(0，0)即原点的直线。