Question

一道概率题

三个小伙子同时爱上了一 个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失 误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个 人。他们三个获胜的概率各是多少？（要计算过程）

Answer 1

每个人开枪时都有选择，即朝某一位对手开枪或开空枪。要解决这个问题我们要假设这三个人都是理性的人，即他们做出的决定能使自己得到最大的生存机会。（否则我们不知道每个人的决定如何，也不知道他们做出每个选择的概率，这题就无法解决。）
首先要明确几点：（1）若决斗只剩下2个人，那么每一个人都肯定要向对手开枪，而不是愚蠢的开空枪。（2）假设小林开枪时仍有3个人，那么他肯定会一枪毙了对自己威胁最大的小黄。（3）基于（2）轮到小黄开枪时，如果小林还活着，他肯定会朝小林开枪，否则他必死无疑。
现在我们回到小李，我们依次计算他所做得3个选择的获胜几率：
（1）开空枪。那么接下来小黄朝小林开枪。若小林被打死了（概率为0.5），那么接下来只剩下李、黄二人了，易求得小李活下来的概率为0.3+0.7×0.5×0.3+(0.7×0.5)²×0.3+...（无穷等比数列求和）=0.3/(1-0.7×0.5)=6/13；若小林没被打死（概率为0.5），那么接下来小林毙了小黄，小李朝小林开枪（这是最后的机会了），小李活下来的概率为0.3=3/10
综上第一次开空枪时小李活下来的概率为(6/13)×(1/2)+(3/10)×(1/2)=99/260
（2）朝小黄开枪，有7/10的概率相当于开空枪，另3/10的概率杀死了小黄，那么轮到小林开枪时他就死定了，因此第一次朝小黄开枪而活下来的概率为(99/260)×(7/10)<99/260，因此此举是极不明智的
（3）朝小林开枪，同样有7/10的概率相当于开空枪，另3/10的概率杀死了小林，那么接下来便成了小林与小李的二人对决，易求得小李活下来的概率为0.5×0.3+0.5×0.7×0.5×0.3+(0.5×0.7)²×0.5×0.3+...=0.5×0.3/(1-0.5×0.7)=3/13
综上第一次朝小林开枪而活下来的概率为(99/260)×(7/10)+(3/13)×(3/10)=873/2600<99/260，因此此举也是不明智的
因此小李要想尽可能的获胜，他第一次只能开空枪，其获胜的概率为99/260
下面求小林获胜的概率，首先他要保证在第一轮不死，即躲过小黄的那一枪（概率为1/2），然后他毙了小黄，再躲过小李的一枪（概率为7/10），然后他就赢了，其概率为(1/2)×(7/10)=7/20
所以小黄获胜的概率为1-99/260-7/20=7/26
看来这场决斗小李最有机会获胜，小黄获胜的几率最小啊。

P.S.其实楼上的跟我的思路差不多（只不过结果是近似值），但我用严格的逻辑证明了（并非想当然）每个人将作何决定。不过还有个瑕疵：即“假设小林开枪时仍有3个人，那么他肯定会一枪毙了对自己威胁最大的小黄。”对这一条我暂时还无法给出逻辑解释，唯一可以肯定的是他不会射杀小李，这显然没有射杀小黄明智，不过我还无法排除“开空枪是最明智的决定”，关于这点等我想到了再补充。

好吧，我想出来了，对小李和小黄而言，朝对方开枪肯定没有朝小林开枪明智，换句话说，只要小林活着，他们就永远不会相互开枪。小林知道这一点，因此开空枪是极不明智的，因为这样与等死并无差别。

Answer 2

至于原因，很简单。
小李：他知道自己的枪法是最差的，根本无法与小黄与小林相比，无论先射杀谁，一旦其中一人被自己射杀，那么自己就有可能是第二个见鬼之人，所以他的最优策略就是一直放空枪，直到小黄与小林二人中，谁先挂；再去射杀剩下的那个。因此，当小黄先死，小林后死的概率是：0.5 * 0.3 = 0.15，当小林先死，小黄后死的概率是：0.5 * 0.3 + 0.5 * 0.7 * 0.5 * 0.3 + 0.5 * 0.7 * 0.5 * 0.7 * 0.5 * 0.3 + …… = 0.23，将 0.15 与 0.23 相加得出小李活着的概率是 0.38

小黄：他知道自己的枪法是居中的，而且小林是自己的最大威胁，他也知道自己是小林最大的潜在威胁，所以他一定要射杀小林，不然自己就会死，然后再去射杀小李。所以小黄存活的概率是：0.5 * 0.7 * 0.5 + 0.5 * 0.7 * 0.5 * 0.7 * 0.5 + …… = 0.27

小林：他知道自己的枪法是最准的，一击致命。是他们首先攻击的目标，而小黄是自己最大的潜在威胁，而且也知道小黄会首先杀自己，所以一定会先射杀小黄，再射杀小李。所以小林存活的概率是：0.5 * 0.7 = 0.35

综上所说，小李的存活概率是最大的，得到美人归的概率也是最大的，小林的存活概率其次，小黄最差！！

Answer 3

这个是命中目标的比法
小李：获胜的概率为0.3
小黄：获胜的概率为0.7*0.5=0.35
小林：获胜的概率为0.7*0.5*1=0.35
如果是三个人决斗的话，这个题目就存在一点问题，必须要求他们三个人的智商都非常的高，都想尽方法赢，那么
小李肯定是这么想的，小林和小黄一定是互相PK的，所以，自己可以一直放空枪，一直到小黄和小林死一个，假如小黄先死，那么小李获胜的概率为：0.5*0.3=0.15，如果小林先死，则小李获胜的概率为0.5*0.3+0.5*0.7*0.5*0.3+0.5*0.7*0.5*0.7*0.5*0.3+。。。。=0.23，所以小李获胜的概率为0.15+0.23=0.38
小黄肯定这么想的，他肯定先想小李的最优做法，他小李一定是放空枪，直到自己和小林先死一个，所以小黄的做法就是，先杀了小林，然后在杀小李，这样他才能赢，所以小黄想赢的概率是：0.5*0.7*0.5+0.5*0.7*0.5*0.7*0.5+0.5*0.7*0.5*0.7*0.5*0.7*0.5.....=0.27
剩下的就是小林获胜的概率：1-0.38-0.27=0.35
小林肯定是这么想的：他肯定可以知道小李放空枪对自己最有利，所以自己必须先杀了小黄，然后在杀小李，这样自己才能赢，所以小林获胜的概率为：0.5*0.7=0.35
所以利用上述所说的，小李按这个思路的话，自己获胜的概率最高！！

Answer 4

第一个开枪的人赢