Question

a、b、c为正实数且满足abc=1,是证明:1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)≥3/2（用柯西不等式）

Answer 1

证明:
不妨设M=1/a³(b+c)+1/b³(c+a)+1/c³(a+b).
∵abc=1.
∴两边平方可得:a²b²c²=1.
把1=a²b²c²代入上面的式子,整理可得:
M=[b²c²/(ab+ac)]+[a²c²/(ab+bc)]+[a²b²/(ac+bc)]
[[1]]
由柯西不等式可得:
2(ab+bc+ac)M
=[(ab+ac)+(ab+bc)+(ac+bc)]×{[b²c²/(ab+ac)]+[a²c²/(ab+bc)]+[a²b²/(ac+bc)]}
≧(bc+ac+ab)²
即2(ab+bc+ac)M≧(ab+bc+ac)².
∴M≧(ab+bc+ac)/2.等号仅当a=b=c=1时取得.
[[2]]
由题设abc=1及均值不等式可得:
ab+bc+ac≧3, 等号仅当a=b=c=1时取得.
结合上面两点,可得: M≧3/2.
即1/a³(b+c)+1/b³(a+c)+1/c³(a+b)≧3/2.
其中,等号仅当a=b=c=1时取得.

Answer 2

上边的答的什么= =！
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)
=(bc)^2/(ab+ac)+(ac)^2/(ab+bc)+(ab)^2/(ac+bc)
柯西得>=(bc+ac+ab)^2/2(ab+bc+ac)=(ab+bc+ac)/2
>=(1/2)*3(abc)^(2/3)=3/2
最后一步是均值。
我答过一个一样的题
http://zhidao.baidu.com/question/306655671.html?fr=uc_push&push=keyword

Answer 3

法一、反证法，假设1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)>3/2,由于a,b,c的可互换性，
可知1/√（1+a^2)，1/√(1+b^2)，1/√(1+c^2)至少有一个大于1/2，则可推出a,b,c三个数中至少有一个小于于√3，设a为最小数，a<√3；
(a+b+c)/abc=1/bc+1/ab+1/ac<1/(a*a)+1/(a*a）+1/（a*a）<1与a+b+c=abc矛盾
所以1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2)≤3/2
法二、换元a=tanA b=tanB c=tanC且A,B,C属于（0，π/2)
tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC
tanA+tanB+tanC（1-tanA*tanB）=(tanA+tanB)(1+tanC/tan(A+B))=0
tanC=-tan(A+B),又由范围可知a+b+c=180度
即证1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosA+cosB+cosC≤3/2
cosA+cosB+cosC=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2cos((A+B)/2)^+1
仅当A=B，cos((A+B)/2)=1/2时取得最大值3/2，
所以1/√（1+a^2)+1/√(1+b^2)+1/√(1+c^2=cosA+cosB+cosC≤3/2

请给分哦～

Answer 4

由a>0,b>0,abc=1知c=1/(ab)＞0,所以
1/[a³(b+c)]+1/[b³(a+c)]+1/[c³(a+b)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[a³b³c³(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a+c)(a+b)+a³c³(b+c)(a+b)+a³b³(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[b³c³(a²+ac+ab+bc)+a³c³(b²+ac+ab+bc)+a³b³(c²+ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[a²b³c³+a³b²c³+a³b³c²+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[bc+ac+ab+(b³c³+a³c³+a³b³)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³c³+a³c³+a³b³+1)(ac+bc+ab)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b³+a³)c³+(a³b³+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)(a²-ab+b²)c³+(ab+1)(a²b²-ab+1)](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
≥[(b+a)abc³+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]
=[(b+a)c²+(ab+1)ab](ac+bc+ab)/[(a+b)(b+c)(a+c)]