Question

如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,过D分别向AB,AC引垂线，垂足分别为EF,CG是AB边上的高

（1）DE,DE,CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以说明
(2）若D在底边的延长线上（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。 并证明一下

Answer 1

第一个问题：其中的一个DE应该是DF吧！若是这样，则有：CG＝DE＋DF。
方法一：
过C作CH⊥ED交ED的延长线于H。
∵CG⊥EG、HE⊥EG、CH⊥EH，∴CGEH是矩形，∴CG＝EH。

∵EB⊥EH、CH⊥EH，∴EB∥CH，∴∠B＝∠DCH。又AB＝AC，∴∠B＝∠DCF，
∴∠DCH＝∠DCF，而CD＝CD，∠DFC＝∠DHC＝90°，∴△DCF≌△DCH，∴DF＝DH，
∴EH＝DE＋DH＝DE＋DF。结合证得的CG＝EH，得：CG＝DE＋DF。

方法二：
∵AB＝AC，∴△ABD、△ABC、△ACD是等底三角形，
∴△ABD的面积/△ABC的面积＝DE/CG。△ACD的面积/△ABC的面积＝DF/CG。
两式相加，得：（△ABD的面积＋△ACD的面积）/△ABC的面积＝（DE＋DF）/CG。
显然，（△ABD的面积＋△ACD的面积）/△ABC的面积＝1，∴（DE＋DF）/CG＝1，
∴CG＝DE＋DF。

第二个问题：此时CG＝DE－DF。考虑到对称性，只需要证明D在BC的延长线上就可以了。
方法一：
过C作CK⊥DE交DE于K。
∵CG⊥GE、EK⊥GE、CK⊥EK，∴CKEG是矩形，∴CG＝EK。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠DCF。
∵CK⊥EK、BE⊥EK，∴BE∥CK，∴∠B＝∠DCK，结合证得的∠B＝∠DCF，得：
∠DCK＝∠DCF，又CD＝CD，∠CKD＝∠CFD，∴△CDK≌△CDF，∴DK＝DF，
∴EK＝DE－DK＝DE－DF，结合证得的CG＝EK，得：CG＝DE－DF。

方法二：
∵AB＝AC，∴△ABC、△ABD、△ACD是等底三角形，
∴△ABC的面积/△ABD的面积＝CG/DE。△ACD的面积/△ABD的面积＝DF/DE。
两式相加，得：（△ABC的面积＋△ACD的面积）/△ABD的面积＝（CG＋DF）/DE。
显然，（△ABC的面积＋△ACD的面积）/△ABD的面积＝1，∴（CG＋DF）/DE＝1，
∴CG＋DF＝DE，∴CG＝DE－DF。

Answer 2

(1)DE+DF=CG.
证明:设AB=AC=m.(m>0)
连接AD,则S⊿ABD+S⊿ACD=S⊿ABC;
即:(1/2)AB*DE+(1/2)AC*DF=(1/2)AB*CG.
即:(1/2)m*DE+(1/2)m*DF=(1/2)m*CG.
所以,DE+DF=CG.
(2)当点D在底边延长线上时,(1)中的结论不成立.
当点D在线段BC延长线上时:DE-DF=CG;
当点D在线段CB延长线上时:DF-DE=CG.
证明:当点D在线段BC延长线上时,连接AD.
设AB=AC=m,S⊿ ABD-S⊿ACD=S⊿ABC;
即:(1/2)AB*DE-(1/2)AC*DF=(1/2)AB*CG;
(1/2)m*DE-(1/2)m*DF=(1/2)m*CG;
DE-DF=CG.
当点D在线段CB延长线上时,同理相似可证:DF-DE=CG.

Answer 3

解：（1）DE+DF=CG．
证明：连接AD，
则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12AB•CG=12AB•DE+12AC•DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE-DF=CG．
理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，
即12AB•DE=12AB•CG+12AC•DF
∵AB=AC，
∴DE=CG+DF，
即DE-DF=CG．
同理当D点在CB的延长线上时，则有DE-DF=CG，说明方法同上