Question

已知θ∈（0，π），sinθ和cosθ是方程x²+kx+k+1=0的两个根，求k和θ的值。

Answer 1

sinθ和cosθ是方程x²+kx+k+1=0的两个根 所以：sinθ+cosθ=-k,sinθcosθ=k+1
于是有：1=(sinθ)^2+(cosθ)^2
=(sinθ+cosθ)^2-2sinθcosθ
=k^2-2(k+1) 即：k^2-2(k+1)=1
解得：k=-1 或 k=3(舍去)
将k=-1代入原方程解得：x=1 或 x=0
于是有：1、当sinθ=1，cosθ=0 时，θ∈（0，π），即:θ=90
2、当sinθ=0，cosθ=1 时，θ∈（0，π），无解!

Answer 2

sinθ+cosθ=-k
sinθcosθ=k+1
sin²θ+cos²θ
=(sinθ+cosθ)²-2sinθcosθ
=k²-2k-2=1
k²-2k-3=0
(k-3)(k+1)=0
k=3 k=-1
sinθ+cosθ=√2sin(θ+∏/4)=-k
-√2≤-k≤√2
∴k=-1
√2sin(θ+∏/4)=1
sin(θ+∏/4)=√2/2
θ+∏/4=∏/4 or 5∏/4
θ=0 or ∏

Answer 3

用二次函数的基本性质，得（1）sinθ+cosθ=-k，（2）sinθcosθ=k+1,，把（1）式子两边平方得
sinθ²+cosθ²+2sinθcosθ=k² ，可以计算得k=3 k=-1 验算只有k=-1符合 又可以算得sinθ=0或sinθ=1，故θ=0°或θ=90° 又依题意，θ=90°（k=-1 θ=90°）

Answer 4

由韦达定理得sinθ＋cosθ＝－k，sinθ·cosθ＝k+1，及sin²θ＋cos²θ＝1，解得k＝－1，θ＝π／2