Question

已知；如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E上，BG=10

（1）当折痕的另一端F在AB边上时，求⊿EFG的面积。
（2）当折痕的另一端F在AD边上时，求折痕GF的长。

Answer 1

解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；
∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠HEG=∠AFE，
又∵∠EHG=∠A=90°，
∴△EAF∽△GHE，
∴EF EG =AE GH ，
∴EF=5，
∴S△EFG=1 2 EF•EG=1 2 ×5×10=25．
（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，
∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF∥BG，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG，
∴BG=EF，
∴四边形BGEF为平行四边形，
又∵EF=EG，
∴平行四边形BGEF为菱形；
连接BE，
BE，FG互相垂直平分，
在Rt△EFH中，
EF=BG=10，EH=AB=8，
由勾股定理可得FH=AF=6，
∴AE=AF+EF=16，
∴BE= AE2+AB2 =8 5 ，
∴BO=4 5 ，
∴OG= BG2-BO2 =2 5 ，
∵四边形BGEF是菱形，
∴FG=2OG=4 5 ，
答：折痕GF的长是4 5 ．

Answer 2

解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；
∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°
∴∠HEG=∠AFE，
又∵∠EHG=∠A=90°，
∴△EAF∽△GHE，
∴EF
EG
AE
GH
∴EF=5，
∴S△EFG=1\2EF•EG=×5×10=25．

（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，
∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF∥BG，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG，
∴BG=EF，
∴四边形BGEF为平行四边形，
又∵EF=EG，
∴平行四边形BGEF为菱形；
连接BE，
BE，FG互相垂直平分，
在Rt△EFH中，
EF=BG=10，EH=AB=8，
由勾股定理可得FH=AF=6，
∴AE=AF+EF=16，
∴BE=√AE2+AB2 =8√ 5

∴BO=4√ 5
，
∴OG=√BG2-BO2
=2√5
，
∵四边形BGEF是菱形，
∴FG=2OG=4 √5
，
答：折痕GF的长是4 √5

Answer 3

(1)S=25
(2)GF=4√5

追问

可以写过程吗？

追答

(1) 因为折叠，所以三角形BGF≅△EGF BG=EG =10
作EH垂直BC于H,则EH=AB=8.
HG=根号（EG^2-EH^2)=6
AE=BH=BG-HG=4
设BF=EF=X
由AF^2+AE^2=EF^2建立方程：（8-X)^2+4^2=X^2
解得EF=X=5
S△EGF =EF*EG/2=25
(2)......慢慢来.....

追问

第一题谢了，第二题解决可以快一点吗

追答

折叠得BG=EG=10
连接BE交FG于点O
∵AD∥BC
∴∠FEO=∠GBO
∵∠FOE=∠GOB
BO=EO
∴△FOE≅△GOB
∴FE=BG=10
作GI⊥AD
GI=AB=8
IE=√(GE^2-GI^2)=6
FI=FE-IE=4
FG=√(FI^2+GI^2)=4√5

Answer 4

1.解:作EH垂直BG于H,则EH=AB=8;又EG=BG=10.
∴HG=√(EG²-EH²)=6,AE=BH=BG-HG=10-6=4.
设BF=EF=X,则AF=8-X.
∵AF²+AE²=EF²,即(8-X)²+4²=X².
∴X=5.故S⊿EFG=EG*EF/2=10*5/2=25.
2.解:作GH垂直EF于H,则GH=AB=8;又EG=BG=10.
∴EH=√(EG²-GH²)=6;
∵∠EFG=∠BGF=∠EGF.
∴EF=EG=10,则FH=EF-EH=10-6=4.
故FG=√(FH²+GH²)=√(16+64)=4√5

Answer 5

其