Question

已知A,B,C为三角形ABC的三个内角，且其对边分别为a,b,c,若向量m=（2cosA/2,tanA),向量n=(-cosA/2,cosA),

且向量mn=1/2.(1)求角A；（2）若b+c=4,三角形ABC的面积为√3，求a.
改正：向量n=(-cosA/2,cotA)

Answer 1

解：
(1)
∵向量m*向量n=-2[cos(A/2)]^2+tanA*cotA=-(cosA+1)+1=-cosA=1/2
∴cosA=-1/2
∵A是△ABC的内角
∴A∈(0，π)
∴A=2π/3.
(2)
∵S△ABC=(1/2)bcsinA=(1/2)bcsin(2π/3)=(1/2)bc*(√3)/2=(√3)bc/4=√3
∴bc=4
∵b+c=4
∴(b+c)^2=b^2+2bc+c^2=b^2+c^2+8=16
∴b^2+c^2=8.
由余弦定理：(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(8-a^2)/(2*4)=cosA=cos(2π/3)=-1/2
解得：a=2√3.