Question

已知圆x^2+y^2=1,直线y=x+m （1）m为何值时，直线与圆有两个不同的交点 （2）设

已知圆x^2+y^2=1,直线y=x+m
（1）m为何值时，直线与圆有两个不同的交点
（2）设直线与圆交与A，b，且直线OA，OB（O为坐标原点）与x轴的正半轴所成的角为α，β，求证：sin（α+β）是与m无关的定值 急用啊 谢谢啦 。。。

Answer 1

解：(1)x^2+y^2=1的圆心为(0,0), 该点到直线y=x+m的距离为|m|/√2, 当|m|/√2 <1时，直线与圆有两个不同的交点，所以-√2 <m <√2.
(2)由已知可设A,B两点的坐标为A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ), 代入直线y=x+m可得
sinα = cosα + m, sinβ = cosβ +m,
所以sinα-sinβ = cosα-cosβ, 即 2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2) = -2sin((α-β)/2)sin((α+β)/2),
因为|(α-β)/2|<π, 所以sin((α-β)/2)≠0，所以cos((α+β)/2) = -sin((α+β)/2), 即tan((α+β)/2)=-1.
所以sin(α+β) = 2tan((α+β)/2)/(1+(tan((α+β)/2))^2) = -1.