Question

设函数f(x)=xlnx+4 若当x≥1时,恒有f(x)≤ax²-ax+4,求a的取值范围

Answer 1

因为f(x)=xlnx+4,f(x)≤ax²-ax+4,x≥1
所以lnx≤a(x-1),分离变量a≥lnx/(x-1)
令g(x)=lnx/(x-1),求导g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2
令t(x)=1-lnx-1/x,求导t`(x)=-1/x+1/x^2,
因为t`(x）在x≥1时t`(x）≤0恒成立
所以t(x)=lnx-1+1/x单减，又t(1)=0,
所以g`(x)=(1-lnx-1/x)/(x-1)^2≤0在x≥1恒成立，且在x=1时g(x)=0
即x〉1时g`(x)<0
所以g(x)=(x-1)/lnx在x≥1单减
所以a≥g（1），g(1)为0/0型用洛必达法则limg(1)=(x-1)`/lnx`=lim1/(1/x)=1
所以a≥1

Answer 2

xlnx≤ax²-ax
lnx≤a(x-1)
1)当x=1时,a取任意实数
2)当x不等于1时,同除以(x-1):
a≥lnx/(x-1)恒成立
a不小于函数y=lnx/(x-1)的最大值
下面求出函数y=lnx/(x-1),当x＞1时的最大值即可
y'=(1-1/x-lnx)/(x-1)^2 分子1-1/x-lnx单调减故y'＜0
此时y无最大值,x趋向1,y趋向1.a≥1
综上:a≥1

Answer 3

因f(x)≤ax²-ax+4，f(x)=xlnx+4
有xlnx+4≤ax²-ax+4,整理得，xlnx≤ax²-ax
因x≥1时，xlnx≥0
所以ax²-ax≥0，ax(x-1)≥0
故a>0