Question

概率分布的正态分布

Answer 1

正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如家畜的体长、体重、产奶量、产毛量、血红蛋白含量、血糖含量等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。 标准正态分布概率计算
设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2]内取值的概率为：而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
附表1只对于-4.99≤u<4.99给出了Φ(u)的数值。表中，u值列在第一列和第一行，第一列列出u的整数部分及小数点后第一位，第一行为u的小数点后第二位数值。例如，u=1.75，1.7放在第一列，0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行与0.05 所在列相交处的数值为0.95994，即Φ(1.75)=0.95994。有时会遇到给定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反过来查u值。这只要在附表1中找到与0.284最接近的值0.2843，对应行的第一列数-0.5， 对应列的第一行数值0.07，即相应的u值为u=-0.57，亦即Φ(-0.57)=0.284。如果要求更精确的u值，可用线性插值法计算。
表中用了象。02336，.97674这种写法，分别是0.0002326和0.9997674的缩写，0表示连续3个0，9表示连续3个9。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1，便能很方便地计算有关概率：
P(0≤u<u1)=Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(|u|≥u1)=2Φ(-u1) (4-12)
P(|u|<u1)=1-2Φ(-u1)
P(u1≤u<u2)=Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】已知u～N(0，1)，试求：(1)P(u<-1.64)=? (2)P(u≥2.58)=? (3)P(|u|≥2.56)=?(4)P(0.34≤u<1.53) =?
利用(4-12)式，查附表1得：
(1)P(u<-1.64)=0.05050
(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
(3)P(|u|≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468
(4)P(0.34≤u<1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389
关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：
P（-1≤u<1）=0.6826
P（-2≤u<2）=0.9545
P（-3≤u<3）=0.9973
P（-1.96≤u<1.96）=0.95
P(-2.58≤u<2.58)=0.99

u变量在上述区间以外取值的概率分别为：
P(|u|≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u<1)=1-0.6826=0.3174
P(|u|≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u<2）=1-0.9545=0.0455
P(|u|≥3)=1-0.9973=0.0027
P(|u|≥1.96)=1-0.95=0.05
P(|u|≥2.58)=1-0.99=0.01

Answer 2