Question

已知定义域在区间【－π，2π／3】上的函数y＝f（X）的图像关于直线x＝－π／6对称，

当x ∈｛－π／6，2π／3】时，函数f（X）＝Asin（wx＋γ），求函数f（x）在【－π，2π／3】上的表达式；求方程f（X）＝√2／2的解

Answer 1

f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈[-π/6,2/3π]
已知定义在区间[-π,2/3π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称,
任给 x∈[-π,-π/6]，其关于x=-π/6的对称点设为x1，则(x1+x)/2=-π/6,即 x1=-x-π/3，而x1∈[-π/6,2/3π]，所以满足f(x)=Asin(ωx+φ)，
即f(x)=Asin(ω(-x-π/3)+φ)，即f(x)=Asin[-ωx+(φ-ωπ/3)]，
所以函数y=f(x)在[-π,2/3π]上系一个分段函数：
f(x)=Asin[-ωx+(φ-ωπ/3)]，x∈[-π,-π/6]；
f(x)=Asin(ωx＋φ)，x∈[-π/6,2/3π].

Answer 2

x∈[-π/6，2/3π]时，f(x)=Asin（ωx+φ），

由图像知，最大值是1，A=1.

2/3π-π/6等于1/4个周期，即2/3π-π/6=1/4·(2π/ω),

ω=1.

将最高点(π/6,1)代入函数解析式得：sin（π/6+φ）=1，

π/6+φ=π/2，φ=π/3.

x∈[-π/6，2/3π]时，f(x)=sin（x+π/3）。

已知定义在区间[-π,2/3π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=-π/6对称,

任给 x∈[-π,-π/6]，其关于x=-π/6的对称点设为x1，则(x1+x)/2=-π/6,即 x1=-x-π/3，

而x1∈[-π/6,2/3π]，所以满足f(x)=Asin(ωx+φ)，

即f(x)=Asin(ω(-x-π/3)+φ)，即f(x)=Asin[-ωx+(φ-ωπ/3)]，

所以函数y=f(x)在[-π,2/3π]上是一个分段函数：

f(x)=Asin[-ωx+(φ-ωπ/3)]，x∈[-π,-π/6]；

f(x)=Asin(ωx＋φ)，x∈[-π/6,2/3π].

将A=1，ω=1，φ=π/3代入得：

f(x)=sin(-x) ，x∈[-π,-π/6]；

f(x)=sin(x+π/3) ，x∈[-π/6,2/3π].

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/14393d5f-0c94-4bd0-a804-a7070518b210

解：（1）当x∈[ -
π6
，
23
π ]时，
函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A＞0 ， ω＞0 ， -
π2
＜φ＜
π2
)，观察图象易得：A=1 ， ω=1 ， φ=
π3
，即函数f(x)=sin(x+
π3
)，
由函数y=f（x）的图象关于直线x=-
π6
对称得，x∈[ -π ， -
π6
]时，函数f（x）=-sinx．
∴(x)=
sin(x+π3)，x∈[-π62π3]-sinx，x∈[-π，-π6)
．
（2）当x∈[ -
π6
，
23
π ]时，
由sin(x+
π3
)=
22
得，x+
π3
=
π4
或
3π4
⇒x=-
π12
或x=
5π12
；
当x∈[ -π ， -
π6
]时，由-sinx=
22
得，x=-
3π4
或x=-
π4
．
∴方程f(x)=
22
的解集为{ -
3π4
， -
π4
， -
π12
，
5π12
}