罗尔中值定理的范例解析
结论得证。若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB,除端点外处处具有不垂直x轴的切线,且在弧的两个端点A、B处的纵坐标相等,则在弧AB上至少有一点C,使曲线在C点处的切线平行于x轴。
范例解析
用罗尔中值定理证明:方程3ax²+2bx-(a+b)=0在(0,1)内有实根。
证明: 设F(x)=ax³+bx²-(a+b)x则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以由罗尔中值定理,至少存在一点
使得
所以
所以ξ是方程3ax²+bx²-(a+b)=0在(0,1)内的一个实根。
扩展资料
证明:因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,所以存在最大值与最小值,分别用M和m表示,分两种情况讨论:
1、若M=m,则函数 f(x) 在闭区间[a,b]上必为常函数,结论显然成立。
2、若M>m,则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件f(x)在开区间(a,b)内可导得,f(x)在ξ处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。
另证:若M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为0,得证。
2018-06-11 广告