Question

圆锥曲线

已知曲线y^2=ax上存在两点A,B关于（1，1）对称，且直线AB的倾斜角是45度，求实数a的值

Answer 1

过这两个交点的直线的倾斜角为45°,所以可设直线方程为y=x+b.
由于两条曲线关于点(1,1)对称，则这两个交点关于点（1，1）对称，
即这两个交点所连线段的中点是（1，1），所以（1，1）在直线y=x+b上，
代入得：b=0.故可求得该直线为y=x.
将y=x与y^2=ax联立可得两个交点分别为：（0，0）与（a,a）。
y^2=ax关于点（1，1）对称的曲线方程为(2-y)^2=a(2-x),
将点（0，0）与（a,a）代入得：a=2.

Answer 2

思路：首先，AB的方程可以求出，把AB的方程与y^2=ax联立，消去X（比消去Y好一些），所得方程的判别式大于0且两根之和等于2（AB中点纵坐标的2倍），即可求出a的值。