Question

已知数列{An}满足A1=1/5，切且当n>1,n∈正整数时，A（n-1）/An=[2A(n-1)+1]/(1-2An),

⑴求证：数列{1/An}为等差数列；
⑵试问A1·A2是否是数列{An}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由。
注：（）中的为前字母的下角标 十分钟之内做完给

Answer 1

[1] A（n-1）/An=[2A(n-1)+1]/(1-2An),
(1-2An)/An=[2A(n-1)+1]/A(n-1)
1/An-2=2+1/A(n-1)
即1/An-1/A(n-1)=4
所以{1/An}是公差为4的等差数列
[2] 1/A1=5
则1/An=5+4(n-1)=4n+1
An=1/(4n+1)
A2=1/(8+1)=1/9
设A1*A2=(1/5)*(1/9)=1/45是第m项
则Am=1/(4m+1)=1/45
4m+1=45
解得m=11
所以A1*A2是数列{An}中的项，为第11项。
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Answer 2

（1）由条件A（n-1）/An=[2A(n-1)+1]/(1-2An),
可得：A(n-1)*(1-2An)=[2A(n-1)+1]*An
A(n-1)-2An*A(n-1)=2A(n-1)*An+An
A(n-1)-An=4An*A(n-1)
因此有1/An-1/A(n-1)=[A(n-1)-An]/[An*A(n-1)]=4
所以数列{1/An}为等差数列 公差为4。
（2）A1=1/5 1/A1=5 可求出1/An=4n+1 An=1/(4n+1)
A2=1/9
A1*A2=1/45
A11=1/(4*11+1)=1/45 所以是第11项。

Answer 3

（1）由题意知A（n-1）/An=[2A(n-1)+1]/(1-2An)
等价于A（n-1）(1-2An)=[2A(n-1)+1]An
即A（n-1）-2AnA（n-1）=2AnA(n-1)+An
即A（n-1）=4AnA(n-1)+An
两边同时处以4AnA(n-1)
即有1/An-1/A（n-1）=4
所以数列{1/An}是以{1/A1}为首项，以4为公差的等差数列
（2）由（1）知
1/An=5+4（n-1）=4n+1
即有An=1/(4n+1)
则A1=1/5,A2=1/9
所以A1·A2=1/45
故1/45=1/(4n+1)
有n=11时满足
所以A1·A2是数列{An}中的项，为第11项