Question

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a,b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)

（1）求证：f(0)=1
(2)求证:对任意的x∈R，恒有f(x)＞0
(3)求证f(x)是R上的增函数
（4）若f(x)f(2x-x^2)>1,求x的取值范围

Answer 1

(1) 设b=0 则f(a)=f(a)f(0) f(0)=1
(2) 设a=x>0 b=-x<0 则f(0)=f(x)*f(-x)=1
因f(x)>1>0 所以f(-x)>0
故对任意的x∈R，恒有f(x)＞0
(3) 设x1>x2 x1=x2+m m=x1-x2>0 则f(m)>1
所以f(x1)=f(x2+m)=f(x2)*f(m)>f(x2)
故f(x)是R上的增函数
(4) f(2x-x^2)>1
因f(x)是增函数，f(0)=1
所以2x-x^2>0 x(x-2)<0
解得0<x<2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

（1） 因为f(a+b)=f(a)f(b)， 所以 f(0+0)=f(0)f(0) 即 f(0)=f(0)的平方 解之，因为f(0)≠0，则得f(0)=1
（2）因为 f(x-x)=f(x)f(-x) 即 1=f(x)f(-x) 又因为当x＞0时，f(x)＞1，所以对任意的x∈R，恒有f(x)＞0
（3）设x2>x1,则 f(x2-x1)=f(x2)f(-x1) 因为（2）中结论 1=f(x)f(-x)，则原式化为 f(x2-x1)=f(x2)/f(x1) 。 假设f(x)是R上的增函数，那么f(x2)>f(x1) 即f(x2)/f(x1)>1. 又因为当x＞0时，f(x)＞1，说明f(x2-x1)中 x2>x1是正确的。说明假设正确
（4）化简f(x)f(2x-x^2)>1，即解f(3x-x^2)>f(0). 因为f(x)是R上的增函数，那么命题转化为2x-x^2>0.解之，得： 0<x<3

Answer 3

①令a=b=0，得f0)=1
②第二问做不起，对不起了
③设b>0，则a+b>a，又因为f(a+b)=f(a)f(b)，且当b＞0时，f(b)＞1，所以f(a+b)>f(a)，所以f(x)是增函数，
④原式化为f(x+2x-x^2)>1，又因为是单增函数，所以由题目得3x-x^2>0，之后就自己解了啥，简单。
你个人去想想二问嘛，我暂时还没想出来。

Answer 4

证明:(1)令a=b=0.则f(0)=f(0)^2.由f(0)不等于0.所以f(0)=1.(2)f(x)=f(x/2)f(x/2)大于等于0，而f(x)不等于0.所以f(x)大于0.(3)令x1大于x2.则f(x1)=f(x1-x2 x2)=f(x1-x2)f(x2)而(x1-x2)大于0.所以f(x1-x2)大于1.而f(x2)大于0.所以f(x1)大于f(x2)，所以f(x)为增函数.(4)由前三问可知，若f(x)f(2x-x^2)大于1.则(3x-x^2)大于0.即x大于0小于3.