用夹逼定理证明
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证：
(1+2+...+n)/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(1+2+...+n)/(n²+1)
[n(n+1)/2]/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<[n(n+1)/2]/(n²+1)
(n+1)/(2n+2)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(n²+n)/(2n²+2)
lim (n+1)/(2n+2)
n→∞
=lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n)
n→∞
=(1+0)/(2+0)
=½
lim (n²+n)/(2n²+2)
n→∞
=lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n²)
n→∞
=(1+0)/(2+0)
=½
由夹逼准则，得：
lim 1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)=½
n→∞
(1+2+...+n)/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(1+2+...+n)/(n²+1)
[n(n+1)/2]/(n²+n)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<[n(n+1)/2]/(n²+1)
(n+1)/(2n+2)<1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)<(n²+n)/(2n²+2)
lim (n+1)/(2n+2)
n→∞
=lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n)
n→∞
=(1+0)/(2+0)
=½
lim (n²+n)/(2n²+2)
n→∞
=lim (1+ 1/n)/(2+ 2/n²)
n→∞
=(1+0)/(2+0)
=½
由夹逼准则，得：
lim 1/(n²+1)+2/(n²+2)+...+n/(n²+n)=½
n→∞
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