Question

已知在区间【1/2,2】上，函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=(x2+x+1)/x在同一点取得相同的最小值。

求f(x)在区间【1/2,2】上的最大值。要解题过程哦。

Answer 1

f(x)=x^2+bx+c
所以f‘(x)=2x+b
g(x)=(x^2+x+1)/x
所以g’(x)=(x^2-1)/x^2
又f(x)与g(x)在同一点取得相同的最小值
所以f‘(x)=g’(x)=0，且x属于【1/2,2】
所以当x=1时，f(x)与g(x)在同一点取得相同的最小值
即2+b=0，1+b+c=3
所以b=-2，c=4
所以f(x)=x^2-2x+4
f‘(x)=2x-2
即f(x)在【1/2,1】上单调递减，在【1,2】上单调递增
所以f(x)在2上取得最大值
即在【1/2,2】上的最大值为f(2)=4

Answer 2

g(x)=(x2+x+1)/x，x在区间【1/2,2】
=x+1/x+1
>=3,x=1等号成立
x=1,f(x)=3
f(x)=x2+bx+c,b+c=2
对称轴x=1=-b/2,,b=-2,c=4
f(x)=x^2-2x+4
=(x-1)^2+3
x=2,f(x)max=4;x=1/2,f(x)=13/4
f(x)在区间【1/2,2】上的最大值4

Answer 3

g(x)=(x2+x+1)/x=x+1/x+1，则当x=1/x，即x=1时，函数取最小值3
则对于 f(x)，b=-2，即f(x)=x2-2x+c，将（1,3）代入得c=4
f(x)=x2-2x+4=(x-1)^2+3,则最大值为f(2)=4