Question

如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC和BD相交于点O,且∠AOB=60°,若P E F分别是AD BO OC的中点

求证:△PEF是等边三角形

Answer 1

证明：

连接CE、BF

因为F、E是AO、OD中点

所以EF＝AD/2（中位线性质）

由等腰梯形和∠AOB＝60度的条件

可证△COD和△AOB是等边三角形

所以由“三线合一”性质知CE⊥BD，BF⊥AC

所以PE、BF分别是Rt△BCE、△BCF斜边BC上的中线

所以PE＝FP＝BC/2

因为AD＝BC

所以FP＝PE＝FE

所以△EFP是等边三角形

Answer 2

证明:连接AE,DF.
四边形ABCD为等腰梯形,∠AOB=60°,则⊿AOB和⊿OCD均为等边三角形,则:OA=AB;OD=CD.
又E,F分别为OB,OC的中点,故EF=BC/2;且AE⊥OB;DF⊥OC;
又点P为AD的中点,则:PE=AD/2;PF=AD/2;
又AD=BC,故PE=PF=EF,所以△PEF是等边三角形.