Question

等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线AC和BD相交于H，∠AHB=60°，且E、F、M分别为HD

等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD=BC，对角线AC和BD相交于H，∠AHB=60°，且E、F、M分别为HD、HA、BC的中点。求证：△EFM是等边三角形。

Answer 1

证明:连接CE,BF.

∵梯形ABCD为等腰梯形.

∴∠DAB=∠CBA;

又AD=BC,AB=BA.

∴⊿DAB≌⊿CBA(SAS),∠DBA=∠CAB.

∴AH=BH.(等角对等边)

又∠AHB=60°,则⊿AHB为等边三角形,BA=BH.

∵BA=BH;F为AH的中点.

∴BF⊥AH.(等腰三角形"三线合一")

又M为BC中点,则FM=BC/2.(直角三角形斜边中线等斜边一半)

同理可证:CE⊥DH,EM=BC/2.

∵E,F分别为DH,AH的中点.

∴EF=AD/2=BC/2.

故EF=EM=FM(等量代换),即⊿EFM为等边三角形.

Answer 2

证：
因为ABCD为等腰梯形且角AHB为60，所以三角形AHB和三角形DHC为等边三角形，连接CE和BF,则CE垂直BD,BF垂直AC,所以角BEC等于角BFC=90,所以B、F、E、C四点共圆，且BC为直径，M为圆心，所以ME、MF为半径，所以ME=MF=MC=1/2BC=1/2AD=EF.