Question

求证；3n+2（n为自然数）不可能是完全平方数

请详细一点，我在八年级奥数书上看到的，答案是
假设3n+2=m^2
那么现在看有没有满足条件的m使得：m^2 - 2 = 3n
由于不知道m,n的具体条件，对于m分情况讨论：
(1)当m是3的倍数：即m = 3k (k任意整数)
此时m^2 - 2 = 9(k^2) - 2 = 3(3*k^2 -1) +1 也就是说，被3除余1；
(2)m被3除余1的情况：m=3k+1
此时m^2 - 2= 9*k^2 + 6k -1 = 3(3*k^2 + 2k ) -1 即被三除余2；
(3)m被3除余2的情况：m=3k+2
此时m^2 - 2 = 9*k^2 + 12k + 4 -2 = 9*k^2 + 12k + 2 = 3(3*k^2 +4k) +1 被3除余2
所以可以知道：不管m取什么样的整数，其平方数减2 即【m^2 - 2】都永远不可能被3除尽
也就是：【m^2 - 2 = 3n】不可能成立
也就是：3n+2=m^2不可能成立 所以形如3n+2的数不是完全平方数。
我看不懂，为什么

Answer 1

假设存在m，使3n+2=m^2 , 即 m^2 - 2 = 3n， 也就是存在整数m，m^2 - 2 能被3 整除。

对于m分三种情况 3k, 3k+1, 3k+2 讨论, 发现m^2 - 2 总不能被3 整除。
故不存在m，使3n+2=m^2。
实际是用反证法来证的。

Answer 2

这是假设存在但最后发现假设不成立来证明
自然数都可表示为上面三种情况，及m = 3k m=3k+1和m=3k+2
所以我们假设存在的m必定在三种情况中的某一种中，
根据题意存在的m也必定满足m^2 - 2 = 3n及能被3整除，及余数为0
但通过分析三种情况一种也没有满足的，及我们假设存在的m不在上面三种情况里面，这就自相矛盾了。那只有一种情况，就是我们的假设不成立，也就是m不存在。所以形如3n+2的数不是完全平方数

Answer 3

第一个 (1)当m是3的倍数：即m = 3k (k任意整数)
此时m^2 - 2 = 9(k^2) - 2 = 3(3*k^2 -1) +1 也就是说，被3除余1；
将9(k^2) - 2拆成(k^2) - 3+1 将三提出 不管一 得出式子3(3*k^2 -1) +1
以下类似