Question

已知x+y+z=x^2+y^2+z^2=2求证x(1-x)^2=y(1-y)^2=z(1-z)^2,急

Answer 1

x(1-x)^2=y(1-y)^2可以化为（x-y）[1+x^2+xy+y^2-2(x+y)]=0
只要证明1+x^2+xy+y^2-2(x+y)=0即可

x+y+z=2 ①
x^2+y^2+z^2=2 ②

由①可得x+y=2-z ③
由②可得x^2+y^2=2-z^2 ④
③^2得到 x^2+y^2+2xy=（2-z）^2 ⑤
（⑤-④）/2得到xy=1-2z+z^2 ⑥

将x^2+y^2=2-z^2④，x+y=2-z ③，xy=1-2z+z^2 ⑥代入开头要证的式子即1+x^2+xy+y^2-2(x+y)中就可以得到1+x^2+xy+y^2-2(x+y)=0
那么（x-y）[1+x^2+xy+y^2-2(x+y)]=0
那么x(1-x)^2=y(1-y)^2
同理证明y(1-y)^2=z(1-z)^2
那么就有x(1-x)^2=y(1-y)^2=z(1-z)^2