Question

高二两道数学题，求过程。谢谢了！

1.若a，b，c ＞0且a²+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是？

2.过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，则实数a的取值范围是多少？

Answer 1

1. (a+b+c)^2-(b-c)^2=12
(a+b+c)^2=12+(b-c)^2>=12
a+b+c>=2√3， 最小值为2√3，当b=c时取得

2. y'=3x^2+4x
切点为(x, x^3+2x^2+a)，斜率为y'=3x^2+4x=f(x)/x=(x^3+2x^2+a)/x
2x^3+2x^2-a=0有三个不同实根。
f(x)=2x^3+2x^2-a
f'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)=0-->x=0, -2/3
f(0)=-a为极小值
f(-2/3)=8/27-a为极大值
为使有三个实根，必有：
f(0)<0--> a>0
f(-2/3)>0--> a<8/27
因此综合得： 8/27<a<0

Answer 2

这是高二的题目？尤其是第二题！

dennis_zyp同学关于第一题的解答没有任何问题。

第二题已经用到高等数学了，超出高中范围。解答中缺了一步说明，补全如下：
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f(x)=2x^3+2x^2-a
f'(x)=6x^2+4x=2x(3x+2)=0-->x=0, -2/3
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f"(x)=12x+4
f"(0)=4>0-->x=0时f(x)为极小值
f"(-2/3)=-4<0-->x=-2/3时f(x)为极大值
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高二阶段的做法我还没想出来，回头再补充。