Question

实数a取何值时,方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(1-ax)有一解\二解\无解?

Answer 1

x-1>0-->x>1
3-x>迹猛0--> x<3--> 1<x<3
1-ax>0---> ax<1--> a<1/x<1

(x-1)(3-x)=(1-ax)--> x^2-(4+a)x+4=0
delta=(4+a)^2-16=a^2+8a=a(a+8)=0--> a=0 ,-8
1)delta<0时，即-8<a<0,无解
2)delta=0, a=0， x=2, 有一解
a= -8, x=-2,不符,无解
3)delta>0, a>0 or a<-8, 根需在（1，3）区间，1<（4+a)/2<姿脊桥3--> -2<a<2--> 0<野颂a<2
f(1)=1-a>0--> a<1
f(3)=1-3a>0--> a<1/3
因此有两解的范围是： 0<a<1/3
若只有一解在（1，3），则f(1)f(3)<0--> 1/3<a<1
因此综合上面得：
无解： a<0, or a>=1
1解： 1/3<a<1, or a=0
2解： 0<a<1/3

Answer 2

由已知可知1-x>0,3-x>0,1-ax>0
可得1<x<3 （1），ax<1 (2)
原方程可变形为（x-1)(3-x)=1-ax
x^2-(a+4)x+4=0 (3)
由（1）可知2<a+4<6得-2<a<2 (4)
要使方程有解则首要条件必须满足（1）则可利用（1）(4)来求（2）中a的取值
当a=0时困樱ax=0<1则x∈R满足条件则当a=0时原方程有解
当0<a<2时（2）可变形为x<1/a则有1<x<纳尺森1/a≤3或x<3≤1/a解得1/3≤a<1或0<a≤1/3
当-2<a<0时（2）可变形为x>1/a这样难以判断有无解
从以上分析可知当0≤a<1时方程有解；当-2<a<0时难以判断有无解否则无解
（3）的判别式△＝（a+4)^2-16=a^2+8a
方程无解满足的条件是a^2+8a<0得-8<a<0则当-2<a<0时方程无解
满足有一解的基本条件是a^2+8a＝0得a=0 (a=-8不符舍去）
则当a=0时方程有一解
满足有二解的基本条件是a^2+8a>0得a>0 (a<-8不符舍去）下面再分情况讨论
先把（3）变形为a=(x^2-4x+4)/x
1）当a=1/3时得x=4/3 (x=3不符舍去）
则当a=1/3时方程有一解
2）当0<a<1/3时得4/3<x<3在区间（1，3）内
所以当a=1/3时方程有二解
3）当1/3<a<1时得4/3<x<4有一部分不在区间（1，3）内即必有一根不在区间（1，3）内
所以当1/3<a<1时方程有一解
综上所述当a=0或1/3≤a<1时方程有一解,当0<a<1/3时方程有两洞亩解,其余无解

Answer 3

先求定义域
x-1>0
3-x>0
1-ax>0
上芦迹面两式解出1<x<3
第三式解出x<1/a(a>0) x>1/a (a<0)
由此可知当1/a ≤1 ,a>0 时 就没有解(因为和1<x<3无交集) 解出 a≥1
当1/a≥3 ,a<0时 ...这两个不等式一定不同时成立...
则在满足定义域的情况下(a<1)
那式子化为
lg(x-1)(3-x)=lg(1-ax)
即陪滚并(x-1)(3-x)=1-ax
全部展开
-x^2-2x-3=1-ax
即x^2+(2-a)x+4=0
再用判别式
△=(2-a)^2 -16 =a^2-4a-12=(a-6)(a+2)
因为a<1
所以a-6<0
要使方程有一根,. 则要△=0 即a=-2
要备茄使方程没根 则要△<0 即 a+2>0 解出-2<a<1
要使方程有两根 则要△>0 即a+2<0 那么a<-2

综上
要使方程有一根,. a=-2
要使方程没根 a>-2
要使方程有两根 a<-2