Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，求△ABC的内切圆⊙O的半径

如图2，⊙O1和⊙O2相切于点P，过点P的直线与⊙O1相交于点A，与⊙O2相交于点B。求证 O1A∥O2B
俩题哈

Answer 1

第一题用面积法求解：
解：连接OA、OB、OC，将三角形ABC分割为三个三角形：三角形OAB、三角形OBC、三角形OAC。设圆O的半径为r。
∵圆O内切于三角形ABC
∴点O到三角形OAB、三角形OBC、三角形OAC三个三角形AB、BC、AC三边的距离均为r
又∠C=90°。
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
即有：ab/2=根号下（a^2+b^2）*r/2+ar/2+br/2
解该方程得r=[a+b-根号下(a^2+b^2)]/2.

2,证明：根据题意画出两个图来，首先证图（1）中 O1A∥O2B，
∵⊙O1和⊙O2相切于点P
∴点O1、P、O2三点在同一直线上（这是圆相切的性质），连接该三点。
∵在圆O1中O1A=O1P
∴∠O1AP=∠O1PA……（1）
同理 在圆O2中O2P=O2B
∴∠O2PB=∠O2BP……（2）
又∵∠O1PA与∠O2PB互为对顶角。
所以∠O1PA=∠O2PB……（3）
联立（1）、（2）、（3），可知：
∠O1AP=∠O2BP，
∴ O1A∥O2B

同理，在图（2）中连接O1、O2、P三点，有 ∠O1AP=∠O1PA，∠O2BP=∠O2PB
∠O1PA与∠O2PB是同一角，所以∠O1AP==∠O2BP。
∴ O1A∥O2B
终上可知，两种情况都有O1A∥O2B

追问

ab/2=根号下（a^2+b^2）*r/2+ar/2+br/2
r=[a+b-根号下(a^2+b^2)]/2.
的详细步骤，谢谢

追答

这就是解方程么：方程右边=（根号下（a^2+b^2）+a+b）*r/2,方程两边1/2消去得：
r=ab/(根号下（a^2+b^2）+a+b),然后分子分母同时乘以：根号下（a^2+b^2）-(a+b)，最后分子为ab(根号下（a^2+b^2）-(a+b)),分母为a^2+b^2-(a+b)^2=-2ab,然后分子分母都消去ab，最后得
[a+b-根号下（a^2+b^2）]/2.
自己再动脑筋算一下，看是不是这样。

Answer 2

第一题用面积法求解：
解：连接OA、OB、OC，将三角形ABC分割为三个三角形：三角形OAB、三角形OBC、三角形OAC。设圆O的半径为r。
∵圆O内切于三角形ABC
∴点O到三角形OAB、三角形OBC、三角形OAC三个三角形AB、BC、AC三边的距离均为r
又∠C=90°。
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC
即有：ab/2=根号下（a^2+b^2）*r/2+ar/2+br/2
解该方程得r=[a+b-根号下(a^2+b^2)]/2.

2,证明：根据题意画出两个图来，首先证图（1）中 O1A∥O2B，
∵⊙O1和⊙O2相切于点P
∴点O1、P、O2三点在同一直线上（这是圆相切的性质），连接该三点。
∵在圆O1中O1A=O1P
∴∠O1AP=∠O1PA……（1）
同理 在圆O2中O2P=O2B
∴∠O2PB=∠O2BP……（2）
又∵∠O1PA与∠O2PB互为对顶角。
所以∠O1PA=∠O2PB……（3）
联立（1）、（2）、（3），可知：
∠O1AP=∠O2BP，
∴ O1A∥O2B

同理，在图（2）中连接O1、O2、P三点，有 ∠O1AP=∠O1PA，∠O2BP=∠O2PB
∠O1PA与∠O2PB是同一角，所以∠O1AP==∠O2BP。
∴ O1A∥O2B
终上可知，两种情况都有O1A∥O2B

Answer 3

第一题，（a+b-根号下a方+b方）再除以二

第二题 ，链接 O1 O2，∠O1PA=∠O2PB=∠O1AP=∠O2BP ,内错角相等，两直线平行

Answer 4

1 由题可求Rt△ABC斜边长AB，CF=CE=r（半径），BD=BF,AD=AE，CB+CA-AB=2r 然后就知道半径是多少了
2 证明点O1 点P点 O2共线就好证了，我打字速度慢，你自己彻悟去，我飘····

Answer 5

1.设△ABC的内切圆⊙O的半径为r，则有
SABC=1/2ab=r^2+2*1/2*(a-r)*r+2*1/2(b-r)*r，解得r=[a+b-根号（a^2+b^2)],或
[a+b+根号（a^2+b^2)](舍去）；
2证明：连接O1、O2、P由圆与圆相切可知O1、O2、P在一条直线上，
∵O1A=O1P
∴∠O1AP=∠O1PA
同理：∠O2PB=∠O2BP
∵∠O1PA=∠O2PB
∴∠O1AP=∠O2BP
∴O1A∥O2B

追问

SABC=1/2ab为什么等于r^2+2*1/2*(a-r)*r+2*1/2(b-r)*r
a+b+根号（a^2+b^2)]为什么舍去
第二题图二应如何证

Answer 6

连接01、02（第二问要延长至P）
∠01PA=∠02PB
∵01A=01P 02P=02B
∴∠01AP=∠01PA ∠02BP=∠02PB
∴∠01PA=∠02BP
∴01A∥02B