Question

初中的几何题，

【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（如图）【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF．其他的都知道了，就是【深入探究】（4）的答案说“若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF”，这是为什么呢？

Answer 1

假设 △ABC  和  △DEF：

因为 BC = EF，所以我们移动 △DEF 使 [BC边] 与 [EF边] 重合；

因为 ∠B = ∠E，而且 BC 与 EF 重合，所以 [DE边] 与 [AB边] 在同一条直线上；

此时，有以下两种情况：

(1)  [A点] 与 [D点] 重合，那么 △ABC 和 △DEF 就全等  (根据SAS)；

(2)  [A点] 与 [D点] 不重合，那么 △ABC 和 △DEF 不全等；

假设情况(2)成立：A, D 不重合，则

[D 在 A 左边]   或   [D 在 A 右边]

假设 D 在 A 右边（在左边证明方法是一样的）：

因为 AC = DF = DC，所以 ∠A = ∠CDA （等腰△ACD 等边对等角）

但是 ∠CDA 是 △BCD 的外角，

所以 ∠CDA = ∠B + ∠BCD，

        ∠CDA - ∠B = ∠BCD > 0

        ∠CDA > ∠B   

即： ∠A > ∠B 

这个结论与初始条件 (∠B ≥ ∠A)  相矛盾，因此：

情况(2) 不成立，即 A 与 D 必然重合，也就表明：

△ABC 和 △DEF 必然全等