Question

已知函数f(x)=x+1/(x-2), 函数y=g(x)满足f(1-x)+g(1+x)=2

(1) 求g(x)解析式
(2) 如果过点P(M,3M+1)可以作曲线y=g(x)的2条切线,试求M的范围

Answer 1

这姿首毁盯个吧迹余数

Answer 2

f(1-x)=1-x+1/(1-x-2)=1-x+1/(-x-1)=1-x-1/(x+1)
g(1+x)=2-[1-x-1/(x+1)]=1+x+1/(x+1)
g(1+x-1)=g(x)=1+x-1+1/(x-1+1)=x+1/x

g(x)是双钩隐拦函数。最低灶棚胡点横坐标为1和-1.
m=1.3m+1=4
m=-1,3m+1=-2

m是范围？ 我怎么能求出来。可能是和虚错的

Answer 3

(1)
f(x)=x+1/(x-2)
则f(x)定义域为x∈R，且x≠2
f(1-x)+g(1+x)=2
则要求1-x≠逗虚2，即x≠-1
令t=1+x，山戚燃则要求t≠0,x=t-1
则f(1-x)+g(1+x)=2化为
f(1-(t-1))+g(t)=2
则g(t)=2-f(2-t)=2-[(2-t)+1/仔薯(2-t-2)]=t+1/t
则g(x)=x+1/x (x≠0）
（2）过点P直线方程为y-(3M+1)=k(x-M)
直线与曲线相切，则切点坐标满足
y-(3M+1)=k(x-M)
y=x+1/x
则k(x-M)+(3M+1)=x+1/x
整理得(k-1)x²+(3M+1-kM)x-1=0
若相切要求△=0
即(3M+1-kM)²+4(k-1)=0
整理得M²k²+(4-2M(3M+1))k+(3M+1)²-4=0
上式看做以k为变量的方程，若有两条切线，则要求方程有两个不相等实根。
则要求该方程△>0,且M≠0
即(4-2M(3M+1))²-4M²((3M+1)²-4)>0
整理得2M²+M-1<0
解得-1<M<1/2，但M≠0
则M范围是(-1,0)∪(0,1/2)

Answer 4

(1)f(1-x)+g(1+x)=2
令x=x-1得到f(2-x)+g(x)=2
所以g(x)=2-f(2-x)=2-(2-x-1/x)=x+1/x
(2)P点在直线y=3x+1上
先对g(x)求导g‘(x)=1-1/x²
设切点(n，n+1/睁唯备n)(n不等于0)
切线斜率为1-1/n²
切线方山橘程就是y=(1-1/n²)(x-n)+n+1/n=(1-1/n²)x+2/n
P(m,3m+1)在直线上，带入
3m+1=(1-1/n²)m+2/n
整理为(2m+1)n²-2n+m=0
此悉毁方程有两个根，并且根不能为0
Δ>0和f(0)不等于0
即4-4m(2m+1)>0和m≠0
算出-1<m<1/2且m≠0

Answer 5

f(x)=x+1/(x-2)
f(1-x)+g(1+x)=2
g(1+x) = 2 - f(1-x)
= 2 - { 1-x + 1/(1-x-2) }
= 2 -{ 1-x + 1/(-1-x) }
= 2-{1-x -1/(1+x)}
= 2-1+x+1/(1+x)
=(1+x) + 1/(1+x)
令t=1+x
g(t) = t + 1/茄核嫌t
即：g(x) = x + 1/x

设过P点做y=g(x)的斜率为氏槐k：
y-(3M+1) = k(x-M)
y = k(x-M)+(3M+1) = kx - (k-3)M + 1
代入y = x + 1/x：
x + 1/x = kx - (k-3)M + 1
(k-1)x - (k-3)M + 1 - 1/x = 0
(k-1)x^2 - {(k-3)M + 1}x - 1 = 0
可以作曲线y=g(x)的2条切线，即判别式＞0
{(k-3)M + 1}^2 +4(k-1)＞0
(k-3)^2 M^2 + 2(k-3)M + 1 +4k -4 ＞0
(k^2-6k+9) M^2 + 2Mk-6M + 4k -3 ＞0
M^2k^2 - 6M^2 k + 9 M^2 + 2Mk-6M + 4k -3 ＞0
M^2k^2 - 2(3M^2 -M-2)k +(9M^2 -6M -3) ＞0
k有颤手两个实数解，∴二次项系数M^2≠0，并且判别式＞0
{2(3M^2 -M-2)^2 - 4M^2 * (9M^2 -6M -3) ＞0
{(3M^2 -M-2)^2 - M^2 * (9M^2 -6M -3) ＞0
9M^4 +M^2 +4 - 6M^3 - 12M^2 +4M - 9M^4 + 6M^3 +3 M^2 ＞0
4 - 8M^2 +4M ＞0
2M^2 - M - 1 ＜ 0
(2M+1)(M-1)＜0
-1/2 ＜ M ＜1
又M≠0
所以：-1/2 ＜ M ＜0，0＜M＜1