Question

已知a,b为常数，a≠0,函数f(x)=ax^2+bx(x∈R),f（2)=0且方程f(x)=x有等根

求f(x)得解析式及值域

Answer 1

方程f(x)=x有等根,f(x)=ax^2+bx
∴f(x)=ax^2+bx=x
ax^2+(b-1)x=0
b^2-4ac=0
(b-1)^2-4a*0=0
b=1
f(x)=ax^2+x
f(2)=0
a*2^2+2=0
a=-1/2
∴f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2
x∈R
f(x)max=1/2
∴值域为（-无穷大，1/2]

Answer 2

由f(2)=0,得4a+2b=0,.....(1) 由 f(x)=x，得ax^2+(b-1)x=0,次方程有等根，△=0，得b=1,代入（1）得，a=-1/2.所以f(x)=(-1/2)x^2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2,所以值域为（-∞，1/2]