Question

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。 （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点，且▕PM▕=▕PO▕,求使得▕PM▕取得最小值的点P的坐标。

Answer 1

已知圆C：x^2+y^2+2x-4y+3=0 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。 （2）从圆C外一点P（x₁，y₂）向该圆引一条切线，切点为M,O为坐标原点且︱PM︱=︱PO︱求使得︱PM︱取得最小值的点P的坐标。
解：圆：(x+1)²+(y-2)²=2；圆心C(-1，2)；半径R=√2.
(1)设切线方程为x+y=a，即x+y-a=0，圆心到切线的距离d=︱-1+2-a︱/√2=r=√2
即有1-a=±2，故a=-1或3，故切线方程为x+y=-1或x+y=3.
再设切线方程为x-y-b=0，这时d=︱-1-2-b︱/√2=√2
即有3+b=±2，b=-1或-5，故切线方程还可为x-y=-1或x-y=-5.
故在x，y上的截距相等的切线可作四条：
①x+y=-1；②x+y=3；③x-y=-1；④x-y=-5.
(2)PM²=PC²-R²=(x₁+1)²+(y₁-2)²-2=x²₁+y²₁=PO²
化简得 2x₁-4y₁+3=0...........(1)
由(1)得x₁=2y₁-3/2，故PM²=PO²=x²₁+y²₁=(2y₁-3/2)²+y²₁=5y²₁-6y₁+9/4
=5(y²₁-6y₁/5)+9/4=5[(y₁-3/5)²-9/25]+9/4=5[(y₁-3/5)²+9/20≧9/20
当y₁=3/5时等号成立，此时x₁=6/5-3/2=-3/10.
即当P点坐标为(-3/10，3/5)时，︱PM▕=︱PO▕,，且︱PM︱获得最小值3(√20)/20.

Answer 2

还有经过原点的两条直线的截距也相等（截距为0）

Answer 3

(1)y=x+3,y=-2x