Question

如图,在三角形中 AB=5 BC=3 AC=4 PQ平行与AB，P点在AC上（与A，C不重合），Q在BC上

（1）当△PQC的周长是△ABC周长的一半时，求CP的长。
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。
（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ的长.

Answer 1

△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4
所以△ABC为直角三角形，AB为斜边
△ABC的面积=3*4/2=6
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等
所以△PQC=3
PQ‖AB
CP：4=CQ:3
CQ=3CP/4
△PQC=1/2*CQ*CP=3/8*CP^2=3
CP=2*根号2

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
CP+CQ+PQ=PQ+BQ+AP+AB
CP+CQ=3+4+5-CP-CQ
CP+CQ=6
CP：4=CQ:3
CP=24/7
（3）符合条件的M点是存在的。
①设QM=PM=x,∠OMQ=90°,
BQ=3-x，PA=4-x，
由QM‖AC,
∴(3-x)/x=x/(4-x),
12-7x+x²=x²,
∴x=12/7.
∴PQ²=(12/7)²+(12/7)²
PQ²=288/49,
∴PQ=12√2/7.
②设PQ=QM=5x，∠MQP=90°，
QC=3x，PC=4x，
由△BMQ∽△QCP，
∴（3-3x）/5x=5x/4x，
x=12/37.
∴PQ=5x=60/37.
③设PQ=PM=5x，∠MPQ=90°，
QC=3x，PC=4x，PA=4-4x，
由△PQC∽△APM，
∴3x/5x=5x/（4-4x）
x=12/37，
∴PQ=5x=60/37.
http://zhidao.baidu.com/question/151418002.html?fr=qrl&cid=197&index=2

Answer 2

(1)AB=5,AC=4,BC=3,则AB^2=AC^2+BC^2,角C=90度;
PQ平行于AB,则⊿PCQ∽⊿ACB;
当⊿PQC与⊿ABC周长比为1/2时,则PC/AC=1/2.(相似三角形的周长比等于相似比)
即:PC/4=1/2,PC=2.
(2)当⊿PQC与四边形PABQ周长相等时,即:PC+CQ+PQ=PQ+AB+AP+PQ;
则:PC+CQ=QB+AB+AP=(AB+BC+CA)/2=6;
∵PC/AC=CQ/BC;
∴PC/AC=(PC+CQ)/(AC+BC),即PC/4=6/7,PC=24/7.
(3)当点PQ为等腰直角三角形PQM的斜边时,四边形PCQM为正方形,此时PQ=CM,即PQ等于△ABC中AB上的高,由面积关系可知,高为(AC*BC)/AB=12/5;
当PQ为△PQM的直角边时,PM(或QM)=PQ,设PQ为X.
⊿PCQ与⊿ACB对应高的比等于相似比,即:[(12/5)-X]/(12/5)=X/5,X=60/37.