Question

帮忙求一下极限： lim（1+3^n）^1/n，（n→∞)

希望能写出过程

Answer 1

lim（1+3^n）^1/n，（n→∞)
=3

原因是，当n→∞时，根号内1+3^n与3^n是等价无穷大量，也就是说1相对于3^n是可以忽略的。
所以极限就是3。
注意罗比达法则是针对函数的，这里的问题是关于自然数n的数列问题，所以不能直接用罗比达法则。如果要严格证明的话可以用夹逼法则，或者直接用定义证明。

再次强调这里不能用罗比达法则求解，如果要严格写过程的话，可以用stolz定理，也就是离散情形下得罗比达法则。过程是：
y=(1+3^n)^(1/n).
取对数,lny=[ln(1+3^n)]/n.
当n--->∞时,[ln(1+3^n)]/n是∞/∞型.
由stolz定理,
lim[ln(1+3^n)]/n
=lim[ln(3^(n+1))-ln(3^n)]/(n+1-1)
=lim(ln3)
=ln3.
所以lin(lny)=ln3,
lim(1+3^n)^(1/n)=3.

Answer 2

解:
可设y=(1+3^n)^(1/n).
两边取对数,lny=[ln(1+3^n)]/n.
当n--->∞时,易知[ln(1+3^n)]/n是∞/∞型.
∴由罗比达法则,
lim[ln(1+3^n)]/n=lim[(3^n)ln3]/(1+3^n)--->ln3.
∴lin(lny)=ln3,
∴limy=3.
即lim(1+3^n)^(1/n)=3.

Answer 3

原式=e^lim(ln(1+3^n)/n)
由洛必达法则=e^lim(ln3*3^n)/(1+3^n)=e^ln3=3

Answer 4

lim（1+3^n）^1/n>=lim（3^n）^1/n=3
lim（1+3^n）^1/n<=lim（3^(n+1)）^1/n=3
由夹逼原理 =3

Answer 5

=3*lim(n->∞)[1+3^(-n)]^(1/n)
=3*lim(n->∞)[1+1/3^n]^[(3^n)*1/n/3^n]
=3*e^lim(n->∞)[1/n/3^n]
=3*e^0
=3