Question

求方程x+y/x2-xy+y2=3/7的整数解

2是平方，/是分数线

Answer 1

7(x+y)=3(x^2-xy+y^2)=3[(x+y)^2-3xy]
必有x+y=3k，k为整数
因此7k=9k^2-3xy
故也有k=3n--> x+y=9n， n为整数
7n=27n^2-xy--> xy=27n^2-7n=n(27n-7)
x,y为方程Z^2-9nZ+(27n^2-7n)=0的根
delta1=81n^2-108n^2+28n=28n-27n^2=p^2
27n^2-28n+p^2=0-->delta2=28^2-4*27p^2=4(196-27p^2)=4q^2, p<=2
p=0, q=14, delta2=28, n=0, 28/27
p=1, q=13, delta2=26, n=1/27, 1
因此只有p=1, n=1, delta1=1, Z=5, 4
因此只有两组解：(4,5), (5,4)

追问

x+y=3k的话，7(x+y)不就等于21k吗，看不太懂，delta1=1是什么意思呢，拜托了，我数学学的不怎么样，各位帮帮忙

追答

7(x+y)=3[(x+y)^2-3xy]
右边为3的倍数，所以左边也要为3的倍数。因此只能为x+y=3k
下面的推导是为了使二次方程有整数根，其判别式delta只能为完全平方数。