Question

高一集合数学题

1 设P是一个数集，且至少含有两个数，若任意a,b∈P,，都有a+b,ab,a/b∈P(除数b不等于0）则P是一个数域，例如有理数集Q是数域。
有下列命题：
1 数域必为无限集
2 存在无穷多个数域
以上命题正确的是： 并说明理由
并求证：数集F={a+b根号2 / a,b∈Q} （注：这里/表示隔开号 键盘上没找到笔直的竖线）是数域

2 已知：A={x / x²-ax≤x-a,a∈R} B={x /2≤x+1≤4}，若A∪B=B,求a的取值范围。
3 如图 设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合。点P0是△P1P2P3的中心，若集合S={P / P∈D,P P0≤P Pi(注：i为下标 且等于1,2,3）}则集合S表示的平面区域是
A 三角形区域
B 四边形区域
C 五边形区域
D 六边形区域
请说明理由 谢谢！本人刚刚开始预习高一数学 所以有很多不懂之处希望大家帮忙

Answer 1

LZ你太猛了
刚刚开始预习高一数学 就直接研究这么有深度的题目啊
LZ应该找些简单的开始 循序渐进

第一大题：
1不正确
令a=0，b取任意一个不为0的数
a+b=b∈P
ab,a/b=a=0∈P
此时P数域中只有两个元素0和b，
例如P={0,1}只有两元素
所以数域必为无限集是错误的

2正确
任意a,b∈P
a+b,ab,a/b∈P(除数b不等于0）
如上题因为b可以取无限不为0的值
所以P数域中两元素之一的0确定外
b不确定，例如P={0，1}或{0，2}或{0，3}。。。
所以存在无穷多个数域正确

F={a+b√2 | a,b∈Q}
a1+b1√2∈F
a2+b2√2∈F
a1，b1，a2，b2∈Q
①a+b形式，a1+b1√2+a2+b2√2=(a1+a2)+(b1+b2)√2
因为有理数Q为一数域
所以a1+a2∈Q，b1+b2∈Q
所以(a1+a2)+(b1+b2)√2∈F
②a*b形式，(a1+b1√2)(a2+b2√2)=a1^2+2b1^2+(a1b2+a2b1)√2
同①理a1^2+2b1^2∈Q，a1b2+a2b1∈Q
所以(a1+b1√2)(a2+b2√2)=a1^2+2b1^2+(a1b2+a2b1)√2∈F
③a/b形式，(a1+b1√2)/(a2+b2√2)=((a1+b1√2)(a2-b2√2))/(a2^2-2b2^2)
=(a1a2-2b1b2+(b1-b2)√2)/(a2^2-2b2^2)同理可得∈F
所以F为数域

第二大题：
A={x / x²-ax≤x-a,a∈R}
x^2-(a+1)x+a≤0
(x-a)(x-1)≤0

B={x /2≤x+1≤4}
1≤x≤3
因为A∪B=B,
所以A包含在B内
此时A中a的范围可得1≤a≤3

第三大题：因为P P0≤P Pi
那要考虑临界条件
即P P0=P Pi时
当P P0=P P1时
即P到P0，P1的距离相等
在正三角形P1P2P3内
AF线段上的点满足P P0=P P1 (AF为P0P1中垂线)
中垂线向P0上的点有P P0＜P P1

同理可得P2 P3由此可得
点P在六边形AFEDCB中 含边界
即S的集合为六边形AFEDCB区域

追问

呵呵 简单的我都会啊
你这个太长了
等我晚上回来慢慢研究

Answer 2

第一题 1错误：如 ｛1，1，2｝ 是有限数集，但1+1，1/1，1*1满足条件；
2正确：从第一题继续推，你仔细想想，有思路没。
第二题 ｛x|1≤A≤3｝：∵A∪B=B，∴A,包含于B
第三题 六边形：做P0 P1，P0 P2，P0 P3的中垂线，那么以P0P3的中垂线为例，中垂线
以上的部分与P P0≤P Pi条件矛盾，中垂线上部分P P0=P Pi成立，中垂线
以下部分满足条件，三条中垂线组成一个三角形，但P∈D，∴围成了一个六边形
AFEDCB

追问

晕 第一题你假设的集合
｛1，1，2｝不满足互异性啊。。。

追答

sorry,很久没用，忘了互异性。。
嗯，二楼回答得很好，但是那句话我理解存在问题额：对于任意的a,b都存在。那么是否理解为ab≠0，若是那样理解，必为无限集，命题正确。若如二楼那样理解，就是错误的了。

追问

我也不太懂
我觉得2楼的解法是对的
但是这个题目的答案是两个命题都正确
这其实是2008年福建数学理科高考填空题被我改编的
不过题设肯定一样

追答

那就对了，（看来我还没有理解错），现在我给你讲一下二楼错在哪，题目第二个逗号后面有一句：若任意a,b∈P，那么ab都不能为0，既然任意两个数乘积都不为0，那么该集合不含0。（如果你说只有b不为0，既然a、b都是任意的，那么为什么不能交换a、b？所以a、b都不为0）。

已证集合不含0，那么两个不同且不为0的数的和必不等于原数，因为是任意两数都满足，那么新数也应该与原数求和，新数不断生成，且越来越大，故必为无限数集。

Answer 3

第一题 如果p={0,1} a=0 b=1就不是无限极 所以 1不正确 2不太清楚证明 不明白
第二题 【1,3】 A∪B=B 说明A包含于B
第三题 应 该是三角形吧 本来是圆与三角形交集就是三角形了

追问

晕 你能不能详细解释一下。。
我是预习的 没什么题感。。
不好意思
第一题和第三题是错的
第2题是对的 能不能告诉我过程？
第三题选D 供参考

Answer 4

。。。那么 复杂
我也是准备上高一。

追问

。。。。。。