Question

已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,a3=7,s4=24，

（1）求数列｛an｝的通项公式
（2）设p.q是正整数，且p≠q，证明S（p+q）＜1/2（S2p+S2q）

Answer 1

解：（1）a3=a1+2d=7........(*)
S4=4a1+6d=24.........(**)
联立(*)(**)可得
a1=3 d=2 所以an=3+2(n--1）=2n+1
Sn=3n+2n(n-1)/2=n^2+2n
(2)S(p+q)=(p+q)^2+2(p+q)...................................(1)
1/2（S2p+S2q）=1/2(4p^2+8p+4q^2+8q)
=2p^2+4p+2q^2+4q=2(p^2+q^2)+4(p+q)............(2)
(1)-(2)得
S（p+q）-1/2（S2p+S2q）=-p^2+2pq-q^2-2p-2q
=-(p-q)^2-2(p+q)
因为p，q>0且p≠q，所以-2(p+q)<0，又因为-(p-q)^2<0
所以S（p+q）-1/2（S2p+S2q）=-(p-q)^2-2(p+q)<0
所以S（p+q）＜1/2（S2p+S2q）
刚才把a3的值代错了，现在应该没错，望采纳！

Answer 2

an=3+2n
s(p+q)=(p+q)^2+2(p+q)=p^2+q^2+2pq+2(p+q)
1/2（S2p+S2q）=2p^2+2q^2+2(p+q)
因p≠q（p-q）^2>0
p^2+q^2-2pq>0,p^2+q^2>2pq
2p^2+2q^2>p^2+q^2+2pq
2p^2+2q^2+2(p+q)>p^2+q^2+2pq+2(p+q)
所以S（p+q）＜1/2（S2p+S2q）

Answer 3

已知
数列
{an}是
等差数列
,其前n项和为Sn,a3=7,S4=24
,Sn=na1+n(n-1)d,4a1+4(4-1)d=24,
a1+2d=7,d=-1,a1=9,设p、q是
正整数
,且p≠q,S(p+q)=9(p+q)-(p+q)(p+q-1)=10(p+q)-(p+q)²,
(S2p+S2q)/2
=[18p-2p(2p-1)+18q-2q(2q-1)]/2=10(p+q)-2(p²+q²),p²+q²>2pq,
2(p²+q²)>(p+q)²,-2(p²+q²)<-(p+q)²,10(p+q)-2(p²+q²)<10(p+q)-(p+q)²,
S(p+q)>1/2(S2p+S2q)
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