Question

若n是整数，求证n(n+1)(2n+1)为6的倍数

如题，过程一定要详细清晰，一定一定要很清楚！！！答了以后满意我会追很多分！！！

Answer 1

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
而 n-1 n n+1是连续的三个整数，其中必有一个是3的倍数，至少有一个是2的倍数
所以（n-1)n(n+1)是6的倍数
同理 n(n+1)(n+2)也是6的倍数
他们的和 n(n+1)(2n+1)也是6的倍数

Answer 2

给你一个最笨的证明方法
n(n+1)(2n+1)
任意整除除以3的余数有3种情况,分别为0,1,2
1.设n=3k,k为整数
原式=3k(3k+1)(6k+1)
①若k为偶数,则3k能被6整除,得证
②若k为奇数,则3k+1为偶数,3(3k+1)能被6整除,得证
2.设n=3k+1,k为整数
原式=(3k+1)(3k+2)(6k+3)
=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
①若k为偶数,则3k+2为偶数,3(3k+2)能被6整除,得证
②若k为奇数,则3k+1为偶数,3(3k+1)能被6整除,得证
3.设n=3k+2,k为整数
原式=(3k+2)(3k+3)(6k+5)
=3(3k+2)(k+1)(6k+5)
①若k为偶数,则3k+2为偶数,3(3k+2)能被6整除,得证
②若k为奇数,则k+1为偶数,3(k+1)能被6整除,得证
综上,n(n+1)(2n+1)是6的倍数

Answer 3

证明：（1）∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n
∵n为整数，∴8|8n．
即8|（2n+1）2-（2n-1）2命题得证；
（2）n3-n=n（n2-1）=（n-1）n（n+1）
∵n为正整数，（n+1）和n是连续2个自然数，必定一奇一偶，
所以，2|n（n+1）；而（n-1），n，（n+1）是连续3个整数，
必有一个是3的倍数，所以3|（n-1）n（n+1），
即6|（n-1）n（n+1）．命题得证．
（3）设这四个连续自然数依次为n-2，n-1，n，n+1，
其中n＞2且n为自然数，则依题意：
（n-2）（n-2）n（n+1）+1
=（n-2）（n+1）（n-1）n+1
=（n2-n-2）（n2-n）+1
=（n2-n）2-2（n2-n）+1
=（n2-n-1）2，
因为n为自然数，所以n2-n-1必为整数，即命题得证．

Answer 4

n或者n+1中一定有一个可以被2整除，所以n(n+1)(2n+1)可以被2整除
n除以3的余数有3种可能：如果为0，n可以被3整除；如果为1，2n+1可以被3整除；如果为2，n+1可以被3整除。所以不管怎样n(n+1)(2n+1)可以被3整除
于是n(n+1)(2n+1)可以被2*3＝6整除

Answer 5

6=2*3
n(n+1)(2n+1)中
n(n+1)是相邻的两个数，是2的倍数,可设n=2k,n=2k+1,代入可知两项必有一项是2的倍数
下面设n=3k,n=3k+1,n=3k+2代入,可知三项必有一项是3的倍数