Question

数列1*1+2*2+3*3+...n*n求和公式是n(n+1)(2n+1)/6 怎么证明的

老师讲过忘了 好像要升次什么的
那怎么得出这个的 数学归纳法知道 但只能说是取巧啊 我问的是怎么推出来的？难道只能猜？

Answer 1

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

你只需按照如下过程证明就可以
n=1 正确
n=k-1 正确
n=k 正确
公式就正确

Answer 3

用数学归纳法
n=1时成立
假设对于n=k成立，则去证明n=k+1成立即可。

Answer 4

看二楼的解法吧，他写的很对，利用立方差公式