Question

对定积分求导的问题

见图 求高手解答

Answer 1

　　定积分求导，一般可以用来求面积，例如直线y=2x+1，与直线x=1，x=3，所围成区域的面积。

1.  对于此类问题，通常可以通过二维坐标系画图，得到一个直角梯形，利用梯形的面积公式可以求出所围成区域的面积。

2. 利用定积分计算，则面积计算公式为：S=∫(1,3)(2x+1)dx，计算过程如下：

   S=∫(1,3)2xdx+∫(1,3)dx

    =x^2(1,3)+x(1,3)

   =9-1+3-1=10平方单位。

       至于你题目中出现的图片，是用到两个函数乘积的求导法则和对不定积分的求导法则的综合应用，第一步把x提到积分符号∫的前面，是因为此时的不定积分的积分变量是t，此时x是常数，当不定积分部分通过积分后得到关于x的函数，下一步就是两个关于x的函数的乘积了，即用到函数乘积的求导法则。

Answer 2

方法二是正确的，错误的是方法一，因为方法一中你把原来的积分变量t换元成新的积分变量u之后，注意定积分的积分上下限的值都是针对积分变量来说的，所以原来的t由0到x，变成u之后就是，u从-x到0，这样积分得到的结果同样也是-x^2/2，再对x求导后得到的还是-x。两种方法得到的结果是一样的。以后做积分换元的时候也要牢记，对应的积分上下限要同时做变化！

追问

原来的积分变量是t-x啊？我第一种方法其实我感觉并非换元只是看的更清楚一些以使用积分上限函数。求解释

追答

原来的积分变量不是是t-x，只是把它当做整体来看而已，因为x作为积分上限出现，在积分过程中就一定是一个固定的量，那么变的只是t，就好像t+1看做整体，变的还是t，与1无关，所以(t+1)dt=(t+1)d(t+1),也是这个道理。

Answer 3

其实是做法1错误。u=t-x，积分上下限相应也要-x啊。要积的东西被你换元了

Answer 4